Poznámka o výstavbě matematiky
Na závěr této kapitoly se ještě krátce zmiňme o tom, jaké použití mají poznatky z matematické logiky, které jsme v této i v předchozích kapitolách probrali. Vše, co jsme si zde ukazovali, slouží jako nástroj pro výstavbu matematiky ve vysokoškolském pojetí.
Vysokoškolská matematika bývá stavěna pomocí axiomů, definic, vět a důkazů.
Axiomy jsou tvrzení, u nichž je předem dáno, že musí být pravdivá. Jsou to jakési „základní kameny“ teorie, které chceme budovat. Budeme-li se např. zabývat výstavbou geometrie, budeme pravděpodobně využívat axiomu:
„Každými dvěma body v rovině je určena právě jedna přímka.“
V teorii, kde bychom chtěli používat přirozená čísla, bychom mohli použít např. axiom:
„Každé přirozené číslo má svého následníka.“
Budujeme-li nějakou část matematiky, vycházíme obvykle z několika axiomů.
Definice používáme k zavádění nových pojmů. Ukažme si definici na zavedení operace průniku množin:
„Průnikem množin \(A\), \(B\), který značíme \(A \cap B\), budeme rozumět množinu {\(x\)\(\in\)\(U\); \(x\in A \wedge x\in B\)}.“
Věty a jejich důkazy již známe, věty slouží k popisu poznatků, které nejsou z dosavadních poznatků (axiomů a již dokázaných vět) zřejmé, důkazy pak používáme k ověření a prokázání platnosti vět.
Tímto jsme si v krátkosti nástínili základní princip výstavby vysokoškolské matematiky (a také smysl matematické logiky), hlubší probrání této tematiky je již mimo rozsah tohoto textu.