Disjunkce
Další spojka, kterou se budeme zabývat, se jmenuje disjunkce a je to vlastně spojka „nebo“. V běžném jazyce se většinou spojka „nebo“ používá ve smyslu vylučovacím. V matematické logice je to trochu jinak, ukažme si to opět na příkladu. Budeme mít dva výroky:
- „K prvnímu nástupišti nádraží Praha–Holešovice včera ve 12:20 přijel rychlík Vsacan.“
- „Ke druhému nástupišti nádraží Praha–Holešovice včera ve 12:20 přijel vlak Eurocity Vindobona.“
Pokud tyto výroky spojíme pomocí disjunkce, získáme souvětí:
„K prvnímu nástupišti nádraží Praha–Holešovice včera ve 12:20 přijel rychlík Vsacan nebo ke druhému nástupišti nádraží Praha–Holešovice včera ve 12:20 přijel vlak Eurocity Vindobona.“
To by se dalo upravit na stylisticky méně kostrbatý (a trochu méně přesný) tvar, např.:
„K prvnímu nástupišti nádraží Praha–Holešovice včera ve 12:20 přijel rychlík Vsacan nebo v tutéž dobu přijel ke druhému nástupišti vlak Eurocity Vindobona.“
Takové tvrzení může říci třeba někdo, kdo si nemůže vzpomenout, který z těchto dvou vlaků v danou dobu přijel, ale ví, že některý z nich to byl. Pak bychom tvrzení chápali (a obvykle v běžné mluvě chápeme) tak, že v danou dobu přijel jen jeden z těchto vlaků. Takový přístup ukazuje vylučovací význam této spojky („buď jeden, nebo druhý“). V matematice je to ale jinak, zde připouštíme i situaci, že nastanou obě varianty současně, tedy v našem případě přijedou oba vlaky současně. Přesněji řečeno:
Definice
Disjunkce dvou výroků je pravdivá právě tehdy, když je pravdivý alespoň jeden ze spojovaných výroků.Tuto definici opět můžeme zachytit také tabulkou pravdivostních hodnot, ale chybí nám k tomu jedna drobnost – nevíme, jak disjunkci značit. Hned to napravíme. Disjunkce dvou výroků \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\) se zapíše pomocí znaku podobného malému tiskacímu písmenu „v“: \(\mathbf{A} \vee \mathbf{B}\).
Tabulka pravdivostních hodnot disjunkce
| \(\mathbf{A}\) | \(\mathbf{B}\) | \(\mathbf{A} \vee \mathbf{B}\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Vidíme, že jediným případem, kdy disjunkce neplatí, je stav, kdy oba spojované výroky jsou nepravdivé. Ve všech ostatních případech je disjunkce pravdivá. Ukažme si ještě jeden příklad disjunkce s matematickými výrazy: „\(5 \in \mathbb{N} \vee 5 \in \mathbb{Z}\)“.
Takový zápis bychom mohli přečíst jako: „Číslo pět je prvkem množiny přirozených čísel nebo číslo pět je prvkem množiny celých čísel.“
Tento výrok je pravdivý, protože dokonce oba spojované výroky jsou pravdivé. Víme, že číslo 5 je přirozené i celé. Uvedené závorky zatím nejsou naprosto nutné (později poznáme složitější výroky, u nichž bude nutné rozlišit přednost jednotlivých spojek), ale zvyšují přehlednost zápisu.
