\begin{align} \end{align}

Konjunkce

Pod pojmem konjunkce si můžeme představit obdobu spojky „a“, kterou známe z běžné řeči, a také ji tak budeme číst. Její význam si osvětlíme na příkladu. Vezměme např. dva následující výroky:

  1. „V Lázních Jeseník právě prší.“
  2. „Ve Velimi právě fouká silný vítr.“

Po jejich spojení pomocí konjunkce (tedy vlastně spojky „a“) vznikne věta:

„V Lázních Jeseník právě prší a ve Velimi právě fouká silný vítr.“

Taková věta sice není stylisticky ideálním českým souvětím, její význam je však zřejmý. Chceme-li zapsat konjunkci dvou výroků \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\), používá se obvykle jedno z následujících značení (my se budeme držet toho prvního): \(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B}\); \(\mathbf{A} \& \mathbf{B}\).

A jak je to s pravdivostí, resp. pravdivostním ohodnocením takového složeného výroku? Jak už jsme si řekli, pro každou spojku jsou dána určitá pravidla vycházející z pravdivostní hodnoty dílčích výroků. Pro konjunkci platí následující:

Definice

Konjunkce je pravdivá právě tehdy, když jsou pravdivé oba spojované dílčí výroky. Jinak je nepravdivá.

Jinak řečeno, aby byla konjunkce pravdivá, musí být pravdivé oba spojované výroky. Pokud je pravdivý jen jeden nebo dokonce žádný, konjunkce je nepravdivá.

Pro upřesnění dodejme, že pojem „konjunkce“ v tomto textu používáme ve dvou významech – jednak pro pojmenování vlastní spojky, jednak pro pojmenování výsledného spojení (vzniklého výroku). Význam konkrétního použití vyplývá z kontextu, např. mluvíme-li o pravdivosti konjunkce, jde o výsledný výrok, ale mluvíme-li o tom, že konjunkci čteme „a současně“, jde o spojku. S názvy ostatních logických spojek budeme pracovat obdobným způsobem.

V matematických větách se konjunkce obvykle čte jako „a současně“. Zápis „\(3 < 5 \wedge 5 < 7\)“ tedy přečteme jako:

„Číslo tři je menší než číslo pět a současně číslo pět je menší než číslo sedm.“

Tento výrok o přirozených číslech je pravdivý, protože oba dílčí výroky jsou také pravdivé. Pokud bychom jeden z nich vyměnili za výrok nepravdivý (například s obrácenou nerovností), byla by už celá konjunkce nepravdivá.

Tabulka pravdivostních hodnot konjunkce

Někdy se pro zjednodušení práce používá zápis pravdivostního ohodnocení pomocí tabulky, které se říká tabulka pravdivostních hodnot. Výhody tohoto zápisu poznáme, až budeme zjišťovat pravdivostní ohodnocení u složitějších výroků. Metoda spočívá v tom, že si rozepíšeme všechna možná ohodnocení dílčích výroků a podle toho vyplňujeme ohodnocení u složitějších výroků. Snadno tak zjistíme, pro jakou „konfiguraci“ pravdivostního ohodnocení dílčích výroků je výsledný výrok pravdivý či nepravdivý. Ukažme si to u konjunkce:

\(\mathbf{A}\) \(\mathbf{B}\) \(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B}\)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

Když si tabulku pozorně prohlédneme, zjistíme, že jsou zde opravdu uvedeny všechny možné kombinace ohodnocení výroků \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\). Budeme-li potom tabulku procházet po řádcích, zjistíme, jak je na tom ohodnocení našeho složeného výroku pro jednotlivé případy ohodnocení výroků dílčích.