Implikace
Dostáváme se ke spojce, jejíž pochopení může být náročnější. Nemá totiž jasný vzor v běžném jazyce. K prostému spojení dvou vět pomocí této spojky se používá sousloví „z toho plyne“. Avšak mnohem častěji se implikace do běžné řeči „překládá“ jako vazba „jestliže – pak“. Z toho by mohlo být vidět, že jsme se dostali k první spojce, u níž záleží na pořadí výroků. U konjunkce i disjunkce bylo jedno, zda jsme psali nejdříve první výrok a potom druhý nebo naopak. Spojením jsme získali výrok stejného významu i pravdivostního ohodnocení. Implikace se chová jinak, při změně pořadí výroků se změní nejen význam výsledného výroku, ale často i jeho pravdivostní ohodnocení. Zkusme si opět spojit dva výroky:
- „V Berouně prší.“
- „Hladina Berounky v Berouně stoupá.“
Teď je v uvedeném pořadí spojíme – zkusíme to oběma způsoby, které jsme si ukázali:
„V Berouně prší, z toho plyne, že hladina Berounky v Berouně stoupá.“
„Jestliže v Berouně prší, pak hladina Berounky v Berouně stoupá.“
Obě věty by se jistě daly ještě upravit, aby zněly o něco lépe, ale to není účelem našeho zkoumání. U spojení těchto výroků se zdá být lepší druhý způsob spojení, ale mohou nastat situace, kdy tomu bude naopak. Podívejme se, co se stane, prohodíme-li pořadí výroků:
„Jestliže hladina Berounky v Berouně stoupá, pak v Berouně prší.“
Věta získala zcela jiný význam. Zatímco původní věta říkala, že když prší, stoupne hladina vody, ta druhá nám tvrdí, že když stoupne voda, musí nutně v Berouně pršet (a to rozhodně nemusí být pravda). U implikací tedy musíme dbát na pořadí spojovaných výroků. A jak je to s pravdivostním ohodnocením implikace?
Definice
Implikace je pravdivá pravě tehdy, když jsou oba spojované výroky pravdivé nebo když je první výrok nepravdivý.Neboli: Implikace není pravdivá jen v případě, že první výrok je pravdivý a zároveň druhý je nepravdivý.
Pro zachycení těchto informací pomocí tabulky pravdivostních hodnot opět potřebujeme značení. Ke spojení výroků \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\) pomocí implikace se používá zvláštní dvojitá šipka: \(\mathbf{A} \Rightarrow \mathbf{B}\).
Takový zápis můžeme číst mnoha způsoby:
- „Výrok A implikuje výrok B.“
- „Výrok B plyne z výroku A.“
- „Z výroku A plyne výrok B.“
- „Jestliže platí výrok A, pak platí výrok B.“
- „Jestliže A, pak B.“
Tabulka pravdivostních hodnot implikace
| \(\mathbf{A}\) | \(\mathbf{B}\) | \(\mathbf{A} \Rightarrow \mathbf{B}\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Implikace je velmi často používaným výrokem v celé matematice, mnohdy totiž potřebujeme vyjádřit, že nějaký fakt plyne z jiného. Její pochopení je proto velmi důležité.
