Výrok
První termín z matematické logiky, kterým se budeme zabývat, je takzvaný výrok:
Definice
Za výrok budeme považovat jakékoli tvrzení, u kterého má smysl zabývat se otázkou, zda je či není pravdivé (podle toho pak výrok budeme nazývat pravdivým nebo nepravdivým).Zároveň je nutné dodat, že tato tvrzení budeme zkoumat samostatně, bez souvislosti s případným kontextem. Každé tvrzení pro nás bude samostatným celkem. Je dobré si uvědomit, že není nutné okamžitě vědět, zda je dané tvrzení pravdivé nebo nepravdivé, abychom o něm řekli, že se jedná o výrok. Musí ale být smysluplné zabývat se otázkou pravdivosti tohoto tvrzení (v dalším textu si ukážeme tvrzení, kde to smysluplné není), jinak řečeno musí existovat cesta, jak se k pravdivosti tvrzení dobrat.
Vše si nejdříve vysvětlíme na větách z běžného života a postupně přejdeme i k větám matematickým, které nám umožní přesněji formulovat, co je pravda nebo nepravda (slovo lež se v matematické logice nepoužívá). Nejdříve si ale ukážeme několik příkladů:
„V roce 1998 získala hokejová reprezentace České republiky zlatou medaili na olympijských hrách v Naganu.“
Uvedená věta je výrokem. Dokonce je pravdivým výrokem, jehož pravdivost si můžeme snadno ověřit nahlédnutím do historických sportovních tabulek.„Český král a římskoněmecký císař Karel IV. vládl v 18. století.“
I tato věta je výrok. Samozřejmě je to výrok nepravdivý, to všichni známe z dějepisu.„\(4 < 5\)“
Opět máme před sebou výrok. Ačkoli tak na první pohled nemusí vypadat, jedná se vlastně o zkrácený zápis jednoduché věty, která říká: „Číslo čtyři je menší než číslo pět.“ Taková věta je samozřejmě pravdivá.„Sedni si!“
Výše uvedené tvrzení je větou rozkazovací. U rozkazu ale nemá smysl hovořit o pravdivosti. Můžeme uvažovat pouze o tom, zda bude či nebude splněn, ale to nesouvisí s pravdivostí. Je to tedy první příklad tvrzení, které není výrokem.„Co je dnes k večeři?“
Při hlubším zamyšlení zjistíme, že ani u otázek nemá valný smysl zabývat se jejich pravdivostí. Něco jiného by byly odpovědi na otázky. Tato věta také není výrokem.„Ať se máme všichni dobře!“
Z jazykového hlediska je tento celek větou přací. Ani u vět přacích však nemá smysl ptát se na jejich pravdivost. Opět se můžeme maximálně ptát, zda se nám přání splní.
Prohlédneme-li si předchozí příklady, zjistíme, že jediný typ jednoduché věty (souvětí prozatím ponechme stranou), který připadá v úvahu jako výrok, je věta oznamovací. Rozkaz, otázka ani věta přací výrokem být nemohou. To však neznamená, že všechny oznamovací věty jsou výroky. Projděme si další příklady:
„Učitel drží v ruce křídu.“
Při prvním pohledu bychom se mohli nechat unést myšlenkou, že jde o výrok – vždyť se stačí na učitele podívat a hned víme, zda křídu skutečně drží. Zde narážíme na první rozdíl mezi běžným a matematickým jazykem. Na začátku jsme si zapověděli uvažovat posuzovaná tvrzení v jakémkoli kontextu. Řekli jsme si, že tvrzení budeme posuzovat jako samostatné celky. V takové situaci ovšem nemůžeme vědět, o kterém z milionů učitelů se tato věta vyjadřuje. To by v běžném jazyce vyplynulo právě z kontextu, který jsme si zakázali. Nemá tedy smysl zabývat se pravdivostí tohoto tvrzení, protože nikdy nebudeme vědět, na kterého z učitelů se podívat. Věty obsahující takový „nezjistitelný“ prvek nebudeme za výroky považovat.„\(x > 10\)“
Přečteme-li si tento matematický zápis, dostaneme opět oznamovací větu. Ale co máme dosadit za x? To nevíme. Věta tedy opět není dostatečně přesná. Abychom mohli hovořit o pravdivosti takové věty, museli bychom vzít v úvahu nějaké další dodatečné informace, ale to jsme si zakázali.
