Příklady výroků s kvantifikátory
Zatím jsme si kvantifikátory ukázali jen na „ryze matematickém“ příkladu, avšak ve skutečnosti je můžeme najít i v jiných tvrzeních. Na následujících řádcích si ukážeme několik příkladů z obou oblastí:
-
„Pro každý automobil vyrobený v České republice platí, že jej pohání spalovací motor.“
V této větě je skryt obecný kvantifikátor, i když zde není zapsána jeho značka. Tento výrok říká, že ať vezmeme v úvahu libovolný automobil české výroby, vždy bude poháněn spalovacím motorem. Je to výrok nepravdivý, protože z českých továren již vyjely např. také elektromobily, pod jejichž kapotou bychom spalovací motor hledali marně. -
„Existuje automobil vyrobený v České republice takový, že je poháněný spalovacím motorem.“
Změna kvatifikátoru změnila také význam věty a z té se stal pravdivý výrok. V této chvíli nám stačí najít jeden automobil české výroby, který bude poháněn spalovacím motorem, abychom mohli výrok prohlásit za pravdivý. Jeden takový vidíme na fotografii vpravo. -
„Pro každý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C platí, že obsah čtverce nad stranou AB je roven součtu obsahů čtverců nad stranami AC a BC.“
Uvedené souvětí je vlastně Pythagorova věta, pouze v neobvyklém znění. Je to tedy pravdivý výrok. -
„Pro každý pravoúhlý trojúhelník platí, že obsah čtverce nad přeponou je roven součtu obsahů čtverců nad odvěsnami.“
A zde je Pythagorova věta ve znění již mnohem častějším. Z této formulace však již není na první pohled zřejmé, co je množina z níž vybíráme hodnoty proměnné (množina všech pravoúhlých trojúhelníků) ani co je sama proměnná (ta se skrývá pod souslovím „pravoúhlý trojúhelník“). Opět jde o pravdivý výrok. -
\(\forall (x \in \mathbb{R})\): \(x^2 > 0\)
Zápis můžeme přečíst slovy: „Pro každé reálné číslo x platí, že druhá mocnina x je větší než nula.“ Výrok je nepravdivý, pokud bychom za \(x\) dosadili nulu (což je reálné číslo), nebude tvrzení platit. Kdyby zde však byla použita neostrá nerovnost, výrok by byl pravdivý. -
\(\forall (x \in \mathbb{N}): (x + x) \in \mathbb{N} \wedge (x \cdot x) \in \mathbb{N}\)
Toto je ukázka kvantifikování složitějšího výrokového vzorce složeného ze dvou pomocí konjunkce. Výrok je pravdivý, říká, že součet i součin přirozeného čísla se sebou samým je opět přirozeným číslem, což samozřejmě platí. -
„Pro každé racionální číslo platí, že jej lze zapsat zlomkem.“
Pravdivost tohoto výroku vychází přímo z toho, jak se racionální čísla definují (je tedy pravdivý). Věta nám na první pohled přesně neříká, co je vlastně proměnná a co množina, z níž máme hodnoty proměnné vybírat. V následujícím příkladě se to však vysvětlí. -
„Pro každé x z množiny racionálních čísel platí, že existuje dvojice čísel p z množiny celých čísel a q z množiny přirozených čísel tak, že číslo x lze zapsat jako podíl p a q.“
V této větě je již zřejmé, co je proměnnou a co množinou hodnot, jichž může proměnná nabývat, přesto zůstává otázkou, která z formulací je srozumitelnější… -
\(\forall (x \in \mathbb{R})\) \(\exists (y \in \mathbb{R})\): \(x+y=10\)
„Pro každé reálné číslo x existuje reálné číslo y takové, že součet x a y je roven deseti.“ Tento výrok je pravdivý, opravdu ke každému reálnému číslu můžeme najít takové reálné číslo tak, aby jejich součet byl deset. Jak už jsme si řekli, v jednom výroku může být více kvantifikovaných proměnných. Musíme si ale dát pozor na pořadí kvantifikátorů. Jejich prohození může změnit význam výroku. -
\(\exists (y \in \mathbb{R})\) \(\forall (x \in \mathbb{R})\): \(x+y=10\)
„Existuje reálné číslo y tak, že pro všechna reálná čísla x platí, že součet x a y je deset.“ Takový výrok je samozřejmě nepravdivý, protože neexistuje číslo, ke kterému by bylo možné cokoli přičítat a vycházelo by stále číslo deset. Změna v pořadí kvantifikátorů zde zřejmě sehrála důležitou roli.
V příkladech 9 a 10 jsme narazili na zajímavý problém záměny kvantifikátorů u výroků s více kvantifikovanými proměnnými. Je možné někdy měnit pořadí kvantifikátorů? Pokud je ve výroku více kvantifikovaných proměnných, můžeme měnit pořadí kvantifikátorů s proměnnými před výrokovým vzorcem pouze v případě, že kvantifikátory jsou stejného typu a následují těsně za sebou, popř. jsou-li mezi nimi další kvantifikátory také téhož typu. V ostatních případech by došlo ke změně významu výroku (a tím často také ke změně jeho pravdivostní hodnoty)! To jsme si ukázali právě na příkladech 9 a 10. Nyní si ještě ukažme příklad situace, kdy kvantifikátory můžeme zaměnit. Oba následující výroky mají stejné pravdivostní ohodnocení (a také stejný význam).
\(\forall (y \in \mathbb{R})\) \(\forall (x \in \mathbb{R})\): \(x+y=10\)
\(\forall (x \in \mathbb{R})\) \(\forall (y \in \mathbb{R})\): \(x+y=10\)
Připomeňme na závěr, že jelikož se po kvantifikování volných proměnných z výrokového vzorce stane výrok, můžeme s ním nakládat jako s jakýmkoli jiným výrokem, tj. spojovat jej logickými spojkami s jinými výroky, negovat, apod.
