Tautologie, obměněná a obrácená implikace
Vraťme se ale ještě k řešení pravdivostního ohodnocení složitějších výroků a podívejme se na tři zajímavé příklady. Prvním z nich je výrok:
\(\mathbf{A}\) \(\Rightarrow\) \((\mathbf{B}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{A})\)
Po rozdělení podle „nejvyšší“ implikace získáme dva výroky:
- \(\mathbf{A}\)
- \(\mathbf{B}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{A}\)
A vytvoříme tabulku (tentokrát ji zde rovnou uvedeme kompletní):
| \(\mathbf{A}\) | \(\mathbf{B}\) | \(\mathbf{B}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{A}\) | \(\mathbf{A}\) \(\Rightarrow\) \((\mathbf{B}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{A})\) |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
Narazili jsme na zajímavý výrok, z tabulky totiž vyplývá, že ať je ohodnocení jednoduchých výroků \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\) jakékoli, výsledný výrok bude vždy pravdivý.
Proč jsme v minulé podkapitole rozebírali výrokové proměnné? Abychom se mohli vrátit k výše uvedenému výroku, pro který platí, že je vždy pravdivý, a mohli si nadefinovat, co je to tautologie.
Definice
Tautologie je výrok, který je pro libovolné ohodnocení svých výrokových proměnných vždy pravdivý.
Tento typ výroků je v matematice a matematické logice velmi důležitý, protože umožňuje odvozovat nové poznatky z poznatků již ověřených.
Podívejme se ještě na složitější tautologii:
\((\)\(\neg\)\(\mathbf{A}\) \(\vee\) \(\mathbf{B}\)\()\) \(\Leftrightarrow\) \((\)\(\mathbf{A}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{B}\)\()\)
Po rozkladu na dílčí výroky se dostaneme k následující tabulce:
| \(\mathbf{A}\) | \(\mathbf{B}\) | \(\neg\)\(\mathbf{A}\) | \(\neg\)\(\mathbf{A}\) \(\vee\) \(\mathbf{B}\) | \(\mathbf{A}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{B}\) | \((\)\(\neg\)\(\mathbf{A}\) \(\vee\) \(\mathbf{B}\)\()\) \(\Leftrightarrow\) \((\)\(\mathbf{A}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{B}\)\()\) |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Narazili jsme tedy na ekvivalenci dvou složitějších výroků, která je zároveň tautologií, tedy je vždy pravdivá. Z toho plyne, že oba spojované výroky jsou ekvivalentní (pro jakékoli ohodnocení výrokových proměnných), a tedy že jsme našli vyjádření implikace pomocí negace a disjunkce.
Nyní se podívejme na výrok:
\((\)\(\mathbf{A}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{B}\)\()\) \(\Leftrightarrow\) \((\)\(\neg\)\(\mathbf{B}\) \(\Rightarrow\) \(\neg\)\(\mathbf{A}\)\()\)
Tabulka pravdivostních hodnot bude vypadat následovně:
| \(\mathbf{A}\) | \(\mathbf{B}\) | \(\neg\)\(\mathbf{A}\) | \(\neg\)\(\mathbf{B}\) | \(\mathbf{A}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{B}\) | \(\neg\)\(\mathbf{B}\) \(\Rightarrow\) \(\neg\)\(\mathbf{A}\) | \((\)\(\mathbf{A}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{B}\)\()\) \(\Leftrightarrow\) \((\)\(\neg\)\(\mathbf{B}\) \(\Rightarrow\) \(\neg\)\(\mathbf{A}\)\()\) |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Opět se jedná o tautologii. Co je na ní zajímavého? Všimněme si, že je to vlastně ekvivalence dvou výroků. Už jsme si řekli, že v takovém případě jsou spojované výroky ekvivalentní. Neboli, máme-li implikaci \(\mathbf{A}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{B}\), pak ekvivalentní tvrzení můžeme sdělit pomocí implikace \(\neg\)\(\mathbf{B}\) \(\Rightarrow\) \(\neg\)\(\mathbf{A}\). Takové implikaci se říká obměněná implikace. Obměněná implikace je opět velmi důležitým prvkem matematické logiky a náchází mnohá využití. Je však nutné dávat pozor a nepoplést si ji s obrácenou implikací, což je implikace, u níž přehodíme levou a pravou stranu. V našem případě by to byla implikace \(\mathbf{B}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{A}\). Tato implikace však není s původní implikací ekvivalentní (to už bychom měli vědet z kapitoly o logických spojkách)! Často se u matematických pravidel ve tvaru implikace uvádí upozornění, že obrácená implikace neplatí.
Podívejme se na konkrétní příklad. Použijeme výrok, který jsme již viděli, když jsme si zaváděli pojem implikace.
„Jestliže v Berouně prší, pak hladina Berounky v Berouně stoupá.“
Obměněná implikace zní takto:
„Jestliže hladina Berounky v Berouně nestoupá, pak v Berouně neprší.“
Obrácenou implikací je ale následující věta:
„Jestliže hladina Berounky v Berouně stoupá, pak v Berouně prší.“
Zkusme porovnat předchozí tři „berounské“ výroky. První je za normálních okolností pravdivý – pokud do řeky prší, její hladina skutečně (alespoň nepatrně) stoupá (výjimky způsobené vodohospodářskou regulací apod. pro tuto chvíli zanedbáme). Druhý říká v podstatě totéž, jen z „opačné“ strany (pokud hladina nestoupá, nemůže do řeky pršet). To, že tyto výroky říkají v podstatě totéž ale není asi každému na první pohled zřejmé, je nutné se nad tímto faktem dostatečně zamyslet. Třetí věta však ale nabírá jiný směr – říká, že pokud stoupá hladina řeky v nějakém místě, pak v tomto místě musí pršet. To samozřejmě není pravda, často jsou zdrojem povodní v údolí srážky spadlé v horách.
Na závěr tohoto zamyšlení nad implikacemi si ještě v tabulce shrňme rozdíly v pravdivostním ohodnocení původní, obměněné, obrácené a „obměněné obrácené“ implikace:
| \(\mathbf{A}\) | \(\mathbf{B}\) | \(\neg\mathbf{A}\) | \(\neg\mathbf{B}\) | \(\mathbf{A}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{B}\) původní implikace |
\(\neg\)\(\mathbf{B}\) \(\Rightarrow\) \(\neg\)\(\mathbf{A}\) obměněná implikace |
\(\mathbf{B}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{A}\) obrácená implikace |
\(\neg\)\(\mathbf{A}\) \(\Rightarrow\) \(\neg\)\(\mathbf{B}\) obměněná obrácená implikace |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
