Matematická logika

1. Výrok (\(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}}\)) \(\wedge\) \(\mathbf{C}\) je pravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

2. Výrok (\(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}\)) \(\vee\) (\(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}}\)) je pravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 0, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

3. Výrok, \(\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}\Leftrightarrow \mathrm{(¬\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\) je nepravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 0

4. Výrok \(\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}})}\vee \mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\):

 Je tautologií.

 Není tautologií.

5. Výrok \(\mathrm{[\mathbf{A} \wedge (\mathrm{\mathbf{B}}\Leftrightarrow \mathrm{\mathbf{C}})]}\Rightarrow \mathrm{[\mathrm{(\mathbf{B} \wedge \mathbf{C})}\Rightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}]}\):

 Je tautologií.

 Není tautologií.

6. V kolika řádcích tabulky pravdivostních hodnot vyjde výrok \(\mathrm{[\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Leftrightarrow \mathrm{\mathbf{C}})}\vee \mathrm{\mathbf{A}}]}\vee \mathrm{[\mathbf{A} \wedge (\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}})]}\) pravdivý:  

7. Uvažujme implikaci: „Jestliže v Olomouci právě prší, pak v Šumperku právě nefouká vítr.“ Obměněnou implikací je výrok:

 Jestliže v Šuperku právě fouká vítr, pak v Olomouci právě neprší.

 V Šumperku právě fouká vítr, z toho plyne, že v Olomouci právě neprší.

 Jestliže v Šumperku právě nefouká vítr, pak v  v Olomouci právě prší.

 Jestliže v Šumperku právě neprší, pak v  v Olomouci právě nefouká vítr.

8. Negací výroku \(\mathrm{[\mathbf{C} \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})]}\vee \mathrm{[\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}}]}\) je:

 \(\mathrm{[\mathrm{¬\mathbf{C}}\vee \mathrm{(\mathbf{A} \wedge ¬\mathbf{B})}]}\vee \mathrm{[(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge ¬\mathbf{C}]}\)

 \([\mathrm{¬\mathbf{C}}\vee \mathrm{(\mathbf{A} \wedge ¬\mathbf{B})}] \wedge [(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge ¬\mathbf{C}]\)

 \([¬\mathbf{C} \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})] \wedge [\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}})}\Rightarrow \mathrm{¬\mathbf{C}}]\)

9. Výrok ekvivalentní s výrokem \(\mathrm{[\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}]}\Rightarrow \mathrm{[\mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\vee \mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}})}]}\) je:

 \(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}\)

 \(\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}\Rightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{¬\mathbf{A}})}\)

 \(\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}\vee \mathrm{\mathbf{A}}\)