Matematická logika

1. Výrok (\(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B}\)) \(\vee\) \(\mathbf{C}\) je pravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

2. Výrok (\(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}\)) \(\wedge\) (\(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}}\)) je pravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 0, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

3. Výrok \(\mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\vee \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Leftrightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}\) je nepravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 0

4. Výrok \(\mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\Rightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})}\):

 Je tautologií.

 Není tautologií.

5. Výrok \(\mathrm{[\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{C})}]}\vee \mathrm{[(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{¬\mathbf{C}}) \wedge \mathbf{B}]}\):

 Je tautologií.

 Není tautologií.

6. V kolika řádcích tabulky pravdivostních hodnot vyjde výrok \(\mathrm{[\mathrm{\mathbf{C}}\Rightarrow \mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}]}\Rightarrow \mathrm{[\mathrm{\mathbf{C}}\vee \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})}]}\) pravdivý:  

7. Uvažujme implikaci: „Jestliže sodík nepatří mezi vzácné plyny, pak helium není těžký kov.“ Obměněnou implikací je výrok:

 Helium není těžký kov, z plyne, že sodík nepatří mezi vzácné plyny.

 Jestliže helium není těžký kov, pak sodík nepatří mezi vzácné plyny.

 Jestliže helium je těžký kov, pak sodík patří mezi vzácné plyny.

 Helium je těžký kov, z toho plyne, že sodík patří mezi vzácné plyny.

8. Negací výroku \(\mathrm{[\mathbf{C} \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})]}\vee \mathrm{[\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}}]}\) je:

 \(\mathrm{[\mathrm{¬\mathbf{C}}\vee \mathrm{(\mathbf{A} \wedge ¬\mathbf{B})}]}\vee \mathrm{[(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge ¬\mathbf{C}]}\)

 \([\mathrm{¬\mathbf{C}}\vee \mathrm{(\mathbf{A} \wedge ¬\mathbf{B})}] \wedge [(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge ¬\mathbf{C}]\)

 \([¬\mathbf{C} \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})] \wedge [\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}})}\Rightarrow \mathrm{¬\mathbf{C}}]\)

9. Výrok ekvivalentní s výrokem \([\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}] \wedge [(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})]\) je:

 \(\mathbf{A}\)

 \((\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})\)

 \(\mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}\)