Nutná a postačující podmínka
Uvažujme implikaci \(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}\). Výroku \(\mathbf{A}\) pak říkáme postačující podmínka pro \(\mathbf{B}\), výroku \(\mathbf{B}\) pak říkáme nutná podmínka pro \(\mathbf{A}\). Proč tato pojmenování? Podívejme se na tabulku pravdivostního ohodnocení pro implikaci:
A | B | A \(\Rightarrow\) B |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 |
Zaměřme se na řádky tabulky, v nichž je pravdivá implikace \(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}\), neboli předpokládejme, že tato implikace je pravdivá (tento předpoklad platí až do konce odstavce, nebudeme na něj již znovu upozorňovat; příslušné řádky jsou vyznačeny modře). Vidíme, že pokud je v těchto řádcích pravdivý výrok \(\mathbf{A}\), je pravdivý i výrok \(\mathbf{B}\). Proto je \(\mathbf{A}\) postačující podmínkou pro \(\mathbf{B}\) (platí-li \(\mathbf{A}\), postačuje to pro to, abychom mohli říci, že platí i \(\mathbf{B}\)). To ovšem nic neříká o situaci, kdy \(\mathbf{A}\) není pravdivé. Naopak, podíváme-li se na výrok \(\mathbf{B}\), vidíme, že výrok \(\mathbf{A}\) je pravdivý pouze v situaci, kdy je \(\mathbf{B}\) také pravdivé. Nastává i situace, kdy \(\mathbf{B}\) je pravdivé a \(\mathbf{A}\) nikoli. Avšak nenastává situace, kdy by \(\mathbf{B}\) bylo nepravdivé a \(\mathbf{A}\) bylo pravdivé (to by neplatila implikace a my předpokládáme opak). Proto říkáme, že \(\mathbf{B}\) je nutnou podmínkou pro platnost \(\mathbf{A}\) (aby platilo \(\mathbf{A}\), musí nutně platit \(\mathbf{B}\); platnost \(\mathbf{A}\) však není platností \(\mathbf{B}\) zaručena).
Ukažme si vše na konkrétním příkladu. Mějme větu:
\(\forall (n \in \mathbb{N})\): 6\(\mid\)\(n\) \(\Rightarrow\) 3\(\mid\)\(n\)
Poznámka: Zápis „\(m\)\(\mid\)\(n\)“ říká, že přirozené číslo \(m\) dělí přirozené číslo \(n\), neboli číslo \(n\) je dělitelné číslem \(m\). Chceme-li naopak zapsat, že nějaké přirozené číslo \(p\) nedělí přirozené číslo \(q\), pak využijeme symbol „\(∤\)“ a píšeme „\(p\)\(∤\)\(q\)“.
Větu si přečtěme: „Pro každé přirozené \(n\) platí: Jestliže číslo 6 dělí \(n\), pak také číslo 3 dělí \(n\).“ Jde o pravdivou implikaci, z dělitelnosti šesti přímo plyne dělitelnost třemi.
Výrok \(\forall (n \in \mathbb{N})\): 6\(\mid\)\(n\) má být postačující podmínkou pro výrok \(\forall (n \in \mathbb{N})\): 3\(\mid\)\(n\). A je tomu tak. Víme-li o nějakém (libovolně zvoleném) čísle \(n\), že je dělitelné šesti, pak toto číslo musí být dělitelné také třemi. Naopak, dělitelnost čísla \(n\) třemi nezaručuje to, že číslo \(n\) bude dělitelné šesti. Aby však bylo dělitelné šesti, musí být dělitelné také třemi (jinak dělitelné šesti být nemůže). Dělitelnost čísla \(n\) třemi je tedy nutnou podmínkou pro dělitelnost čísla \(n\) šesti.