Negace konjunkce
Podíváme-li se, kdy je konjunkce nepravdivá, zjistíme, že stačí, aby jeden z výroků byl nepravdivý. To můžeme říci i trochu jinak:
První nebo druhý výrok musí být nepravdivý.
Spojku „nebo“ zde uvažujeme v matematickém smyslu – mohou tedy být nepravdivé i oba výroky současně.
Jak zapíšeme fakt, že výrok má být nepravdivý? Využijeme k tomu negaci – je-li výrok nepravdivý, jeho negace je pravdivá. Můžeme tedy přeformulovat naši myšlenku o situaci, kdy konjunkce neplatí:
Negace prvního nebo druhého výroku je pravdivá.
Neboli:
Platí negace prvního výroku nebo negace výroku druhého.
Výše uvedenou větu už umíme přepsat pomocí spojek a jejich značek, které jsme se již naučili. Uvažujme tedy spojení výroků \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\) pomocí konjunkce (\(\mathbf{A}\) \(\wedge\) \(\mathbf{B}\)) a zapišme jeho negaci: \(\neg\)\(\mathbf{A}\) \(\vee\) \(\neg\)\(\mathbf{B}\).
Pro ověření si ještě ukažme tabulku pravdivostních hodnot. Bude tentokrát obsahovat více sloupců, protože si pro větší přehlednost uvedeme i pravdivostní ohodnocení negací obou dílčích výroků a jejich spojení pomocí konjunkce. Budeme-li mít před očima ohodnocení všech těchto výroků, bude se nám lépe odvozovat ohodnocení právě vytvořené negace.
| \(\mathbf{A}\) | \(\mathbf{B}\) | \(\neg \mathbf{A}\) | \(\neg \mathbf{B}\) | \(\mathbf{A}\) \(\wedge\) \(\mathbf{B}\) | \(\neg\)\(\mathbf{A}\) \(\vee\) \(\neg\)\(\mathbf{B}\) |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Prohlédneme-li si poslední dva sloupce, vidíme, že pravdivostní ohodnocení je ve všech řádcích opačné. Toho jsme chtěli docílit, opravdu máme způsob, jak negovat konjunkci dvou výroků.
Definice
Negací konjunkce výroků \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\) je disjunkce negací těchto dvou výroků.Tato věta, která někomu může připadat zmatená, říká pouze to, na co jsme přišli v předchozích odstavcích a co jsme zachytili do tabulky.
Nyní si ještě ukažme negaci konjunkce na konkrétním příkladě. Uvažujme tento výrok, který je konjunkcí dvou jednodušších výroků:
„Číslo 10 patří do množiny reálných čísel a současně číslo 10 patří do množiny celých čísel.“
Jeho negací pak bude výrok:
„Číslo 10 nepatří do množiny reálných čísel nebo číslo 10 nepatří do množiny celých čísel.“
