Funkce

Portál středoškolské matematiky

Funkce složená

Jak víme z předchozího textu, tak argument funkce, stejně jako funkční hodnota, jsou reálná čísla. Můžeme tedy funkční hodnotu jedné funkce \(g\) dosadit jako argument do jiné funkce, např. funkce \(f\). Takto vznikne nová funkce \(h:y=f(g(x))\). Tato nová funkce se nazývá složená funkce.

Definice

Máme funkci \(f:y=f(u)\) s definičním oborem \(D(f)\) a funkci \(g:u=g(x)\) s oborem hodnot \(H(g)\). Jestliže je \(H(g)\subset D(f)\), pak funkci \(h:y=f(g(x))\) nazveme složenou funkcí (někdy píšeme též \(h=f\circ g\)).

Poznámka

Je třeba si uvědomit, že skládání funkcí není komutativní. Tedy, že funkce \(h_1=f\circ g\) je obecně různá od funkce \(h_2=g\circ f\).

Příklady

Máme dány dvě funkce \(f:y=|u|\) a \(g:u=x^3-1\). Napište předpis složené funkce \(h_1:y=f(g(x))\), případně se pokuste načrtnout graf.

Přestože se funkcemi s absolutními hodnotami budeme zabývat až později, měli bychom být schopni tento příklad vyřešit. Zápis složené funkce vytvoříme zcela formálně tak, že za argument \(u\) ve funkci \(f\) dosadíme jeho funkční hodnotu z funkce \(g\). Výsledek pak vypadá takto: \(h_1:y=|x^3-1|\). Graf získáme snadno tak, že si načrtneme graf funkce \(g\), a protože funkce \(f\) je absolutní hodnota, a tedy obor hodnot funkce \(h_1\) jsou pouze nezáporná čísla, tak část grafu pod osou \(x\) zobrazíme v osové souměrnosti podle osy \(x\).
Máme dány dvě funkce \(f:y=u^3-1\) a \(g:u=|x|\). Napište předpis složené funkce \(h_2:y=f(g(x))\), případně se pokuste načrtnout graf.

Stejně jako v minulém příkladu zcela formálně za argument funkce \(f\) dosadíme jeho hodnotu z funkce \(g\). Výsledek pak vypadá takto \(h_2:y=|x|^3-1\).
Máme dány dvě funkce \(f:y={1\over 2}u-1\) a \(g:u=2x+2\). Napište předpis složené funkce \(h:y=f(g(x))\), případně se pokuste načrtnout graf.
Při skládání funkcí \(f\) (znázorněna modře) a \(g\) (znázorněna zeleně) postupujeme stejně jako v předchozích případech, zde postupně.
- \(h:y={1\over 2}(2x+2)-1\)
- \(h:y=x\)
Z prvního obrázku je vidět, že funkce \(f\) je inverzní k funkci \(g\) a naopak. Zde je v konkrétním případě vidět obecná vlastnost - jestliže složíme funkci \(f\) s funkcí k ní inverzní \(f^{-1}\), výsledná funkce je vždy \(h:y=f(f^{-1}(x))=x\).