\begin{align}
\end{align}
Riešte rovnice s neznámou
\(t \in \mathbb{R}\):
1.
\(\cos 3t=1\)
2.
\(\sqrt{2}\cos(4\pi+2t)=-1\)
-
\(\cos(4\pi+2t)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
-
\(\cos(4\pi+2t)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
- Zavedieme substitúciu
\(y=4\pi +2t\).
-
\(\cos y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
-
- Z grafu je vidieť, že
\(y_1=\frac {3}{4}{\pi} +2k\pi; y_2=\frac{5}{4}{\pi} +2k{\pi}, k \in \mathbb{Z}.\)
- Vrátime sa k substitúcii a v prvom prípade dostávame
\(4\pi +2t_1=\frac {3}{4}{\pi} +2k\pi\)
-
\(t_1=-\frac {13}{8}{\pi} +k\pi\)
(Prvé riešenie.)
- V druhom prípade platí:
\(4\pi +2t_2=\frac {5}{4}{\pi} +2k\pi\)
-
\(t_2=-\frac {11}{8}{\pi} +k\pi\)
(Druhé riešenie.)
- Výsledným množinu zapíšeme v tvare
\(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{-13}{8}{\pi}+k\pi; \frac{-11}{8}{\pi}+k\pi \}\;.\)
3.
\(\cos (4\pi + \frac{\pi}{3})-\sqrt{3}=0\)
-
\(\cos (4\pi + \frac{\pi}{3})=\sqrt{3}\)
- Zavedieme substitúciu
\(y=4\pi+\frac{\pi}{3}\)
-
\(\cos y=\sqrt{3}\)
- Také y neexistuje, takže môžeme písať
\(y \in \emptyset.\)
4.
\(\sin(2t-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
- Zavedieme substitúciu:
\(y=2t-\frac{\pi}{4}\)
-
\(\sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
-
- Z grafu a zo základných tabuľkových hodnôt funckie sínus plynie, že
\(x_1=\frac{\pi}{4}+2k\pi\)
- Vrátime sa k substitúcii
\(2t_1 -\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\)
-
\(t_1=\frac{\pi}{4}+k\pi\)
(Prvé riešenie.)
-
\(2t_2 -\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\)
-
\(t_2=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
(Druhé riešenie.)
- Výsledným riešením je množina
\(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{4}+k\pi; \frac{\pi}{2}+k\pi \}\;.\)
5.
\({\rm tg}\: (1+t)=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
-
\({\rm tg}\: (1+t)=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
- Zavedieme substitúciu:
\(y = 1+t\)
-
\({\rm tg}\: y = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
-
- Z grafu a zo základných tabuľkových hodnôt funckie tangens plynie:
\(y=\frac{\pi}{6}+k\pi\)
- Vrátime sa k substitúcii a úpravou postupne dostávame:
\(1+t=\frac{\pi}{6}+k\pi\)
-
\(t=\frac{\pi}{6}+k\pi-1\)
- Výsledným riešením je množina
\(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{6}+k\pi-1 \}\;.\)
