Goniometrické rovnice a nerovnice

Úlohy

Riešte rovnice s neznámou \(t \in \mathbb{R}\):

1. \(\sin t \leq {\large \sqrt{2} \large \over \large 2}\)

• 

• Využitím jednotkovej kružnice dostávame riešenie, ktoré zapíšeme v tvare:

  \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \langle \frac{3}{4}{\pi}+2k\pi; 2\pi + \frac{\pi}{4}+2k\pi \rangle = \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \langle \frac{3}{4}{\pi}+2k\pi; \frac{9}{4}{\pi}+2k\pi \rangle.\)

2. \(2\sqrt{3} \cos t \geq 3\)

• \(2\cos t \geq {3 \over \sqrt{3}}\).
• \(2\cos t \geq \sqrt{3}\).
• \(\cos t \geq {\sqrt{3} \over 2}\).
• 

• Využitím jednotkovej kružnice dostávame riešenie, ktoré zapíšeme v tvare:

  \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \langle \frac{11}{6}{\pi}+2k\pi; 2\pi + \frac{\pi}{6}+2k\pi \rangle \).

3. \({\rm cotg}\: t < 1\)

• Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmienka: \(t \not= k\pi, k \in \mathbb{Z}\).
• 

• Využitím grafu a periodicity funkcie kotangens dostávame výsledné riešenie, ktoré zapíšeme v tvare:

  \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left (\frac{\pi}{4}+ k\pi; \pi + k\pi \right).\)

4. \(3\sqrt {3} {\rm tg}\: t - 3 \geq 0\)

• Aby výrazy v nerovnici boli definované, musí platiť podmienka: \(t \not= (2k + 1){\pi \over 2}; k \in \mathbb{Z}\).
• \(3\sqrt {3} {\rm tg}\: t \geq 3\).
• \(\sqrt {3} {\rm tg}\: t \geq 1\)
• \({\rm tg}\: t \geq {1 \over \sqrt {3}}\)
• \({\rm tg}\: t \geq {\sqrt {3} \over 3}\)
• 

• Využitím grafu a periodicity funkcie tangens dostávame výsledné riešenie, ktoré zapíšeme v tvare:

  \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \langle \frac{\pi}{6} + k\pi; \frac{\pi}{2}+k\pi ).\)

5. \(\cos t < \cos {\large\pi \over 4}\)