Príklady
- Príklad 1
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\):
\(\sin(x) = 1\)
Riešenie
Riešenie je vidieť priamo z grafu funkcie sínus:
Pri pohľade na graf funkcie sínus je vidieť, že pre \(x = -\frac{3}{2}{\pi};x = \frac{1}{2}{\pi}\) je na danom intervale \(\langle -2\pi;2\pi\rangle\) funkcia \(\sin x = 1\).
Využitím periody \(2\pi\) dostávame množinu riešení \(K = \{\;\dots,-\frac{7}{2}{\pi},-\frac{3}{2}{\pi},\frac{1}{2}{\pi},\frac{5}{2}{\pi},\frac{9}{2}{\pi},\dots\}\;.\)
Množinu riešení budeme zapísovať stručnejším zápisom \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+2k\pi\}\;.\)
- Príklad 2
- Riešte goniometrickú nerovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\):
\(\cos(x) = 0\)
Riešenie
Pri riešení využijeme graf funkcie kosínus a zistíme, v ktorých hodnotách kosínus nadobúda hodnoty 0.
Pri pohľade na graf funkcie kosínus je vidieť, že pre \(x = -\frac{3}{2}{\pi},x = -\frac{1}{2}{\pi},x = \frac{1}{2}{\pi},x = \frac{3}{2}{\pi}\) je na danom intervale \(\langle -2\pi;2\pi\rangle\) funkcia \(\cos x = 0\). Využitim periodičnosti funkcie kosínus, podobne ako v prvom príklade, dostávame riešenie rovnice v tvare
\(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}\;.\)
- Príklad 3
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\) a výsledok zapíšte v stupňovej miere:
\(\sin(x) = \frac{1}{2}\)
Riešenie
Riešenie tejto úlohy je opäť viditeľné priamo z grafu funkcie sínus a z tabuľkových hodnôt funkcie sínus:
Platí, že pre \(x \in \langle 0;\frac{1}{2}{\pi}\rangle\) je riešením \(x_1 = \frac{1}{6}{\pi}\), pre \(x \in \langle \frac{1}{2}{\pi},\pi\rangle\) je riešením \(x_2 = \frac{5}{6}{\pi}\).
Funkcia kosínus je periodická s periódou \(2\pi\) , obecné riešenie je teda
\(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{6}+2k\pi;\frac{5\pi}{6}+2k\pi\}\;\) a výsledok v stupňovej miere je
\(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\ 30° + k\cdot360°; 150° + k\cdot360° \}\;\).
- Príklad 4
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\):
\(\cos(x) = 0,985\ 0\)
Poznámka
Funkčné hodnoty uvádzame na 4 desatinné miesta.
Riešenie
Použitím kalkulačky alebo matematických tabuliek pre kosínus uhla v oblúkovej miere dostávame riešenie \(x_1 = 0,713\ 0 + 2k\pi\) a \(x_2 = 6,110\ 0 + 2k\pi\), kde \(k \in \mathbb{Z}\).
Použitím matematických tabuliek kosínusu uhla v stupňovej miere dostávame riešenia \(x_1 = 9°56+ k\cdot360°\) a \(x_2 = 360°-9°56 + k\cdot360° = 350°4 + k\cdot360°\)
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\ 9°56 + k\cdot360°; 350°4 + k\cdot360° \}\;\).
