Dvojnásobný argument
Pri tomto type úloh využívame vzorce pre dvojnásobný uhol, taktiež sa predpokladá znalosť predchádzajúcich typov úloh.
- Príklad 1
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\):
\(\cos x + \sin 2x = 0\)
Riešenie
\(\cos x + 2\sin x\cos x = 0\) (Použili sme vzorec \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\) .)
\(\cos x(1 + 2\sin x) = 0\) (Vytknuli sme pred zátvorku výraz obsahujúci funkciu kosínus.)
Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule). Odkiaľ plynie:
\(\cos x(1 + 2\sin x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \vee (1+2\sin x) = 0\)
Prvá možnosť:
\(\cos x = 0\)
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \(\cos x = 0 \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Druhá možnosť:
\(1 + 2\sin x = 0\)
Úpravou dostávame \(\sin x = -{1 \over 2}\)
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \(\sin x = -{1 \over 2} \Rightarrow x = {7 \over 6}{\pi} + 2k\pi; {11 \over 6}{\pi} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare: \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \frac{7}{6}{\pi}+2k\pi; \frac{11}{6}{\pi}+2k\pi \}\;.\)
- Príklad 2
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\):
\(\sin 2x \cos x + \sin^2 x = 1\)
Riešenie
\(2\sin x\cos x\cos x = 1 - \sin^2 x\) (Použili sme vzorec \(\sin 2x = 2\sin x \cos x.)\)
\(2\sin x \cos^2 x = \cos^2\) (Použili sme vzorec \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1.)\)
\(\cos^2 x(2\sin x - 1) = 0\)
Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
\(\cos^2 x(2\sin x - 1) = 0 \Leftrightarrow \cos^2 x = 0 \vee 2\sin x - 1 = 0\)
Prvá možnosť:
\(\cos^2 x = 0\)
\(\cos x = 0\)
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \(\cos x = 0 \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Druhá možnosť:
\(2\sin x -1 = 0\)
Úpravou dostávame \(\sin x = {1 \over 2}.\)
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \(\sin x = {1 \over 2} \Rightarrow x = {\pi \over 6} + 2k\pi; {5 \over 6}{\pi} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare: \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{5}{6}{\pi}+2k\pi \}\;.\)
- Príklad 3
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\):
\(2\sin 2x - 2\cos 2x = 2\)
Riešenie
\(4\sin x \cos x - 2(\cos^2 x - \sin^2 x) = 2\) (Použili sme vzorce \(\sin 2x = 2\sin x \cos x \) a \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x.)\)
\(4\sin x \cos x - 2\cos^2 x + 2 \sin^2 x = 2\)
\(4\sin x \cos x - 2\cos^2 x + 2(1 - \cos^2 x) = 2\) (Použili sme vzorec \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1.)\)
\(4\sin x \cos x - 4\cos^2 x + 2 - 2 = 0\)
\(4\cos x(\sin x - \cos x) = 0\)
Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
\(4\cos x(\sin x - \cos x) = 0 \Leftrightarrow 4\cos x = 0 \vee \sin x - \cos x = 0 \)
Prvá možnosť:
\(4\cos x = 0\)
Úpravou dostávame, že \(\cos x = 0\).
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \(\cos x = 0 \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Druhá možnosť:
\(\sin x - \cos x = 0\)
Po úprave dostávame:
\(\sin x = \cos x \)
Z grafu plynie, že \(\sin x = \cos x \Rightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}. \)
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare: \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi \}\;.\)
