Substitúcia na kvadratickú rovnicu
Pomocou ďalšiej jednoduchej substitúcie prevedieme zložitejšiu goniometrickú rovnicu, ktorá obsahuje goniometrickú funkciu, v druhej alebo vo štvrtej mocnine, na kvadratickú rovnicu. Pri tomto type úloh často využívame goniometrické vzorce.
- Príklad 1
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\):
\(2\cos^2 x -\cos x -1 = 0\)
Riešenie
Zavedieme substitúciu \(y=\cos x.\)
Platí: \(2y^2 -y -1 = 0\)
Vypočítame diskriminant kvadratickej rovnice \(ax^2+bx+c = 0\) pomocou znamého vzorca:
\(D = b^2 - 4ac\)
V našom prípade:
\(D=(-1)^2 -4\cdot2\cdot(-1)\)
\(D=9\)
Určíme riešenie kvadratickej rovnice pomocou vzorca
\(y_{1,2}={-b\pm\sqrt{D}\over 2a}\); \(y_{1,2}={1\pm3\over 4}\).
Čiže \(y_1=1\); \(y_2=-{1\over 2}\).
Vrátime sa k substitúcií \(y=\cos x\)
Platí \(\cos x_1=1\), čiže \(x_1=0+2k\pi\).
Ďalej \(\cos x_2=-{1\over 2}\), takže \(x_2={2 \over 3}+2k\pi\); \({4\over 3}+2k\pi\) (vidno z grafu).
Riešenie zapíšeme v tvare \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{2k\pi; \frac{2}{3}{\pi}+2k\pi; \frac{4}{3}{\pi}+2k\pi \}\;.\)
- Príklad 2
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\):
\(2\cos^2 x -3 = 3\sin x\)
Riešenie
\(2(1-\sin^2 x) -3 - 3\sin x=0\) (Využili sme základný vzorec \(\cos^2 x + \sin^2 x=1.)\)
\(2\sin^2 x +3\sin x +1 = 0\)
Zavedieme substitúciu \(a=\sin x.\)
Platí: \(2a^2 +3a +1 = 0.\)
Vypočítame diskriminant kvadratickej rovnice a určíme riešenia rovnice podobne ako v predchádzajúcom príklade.
\(D=3^2 -4\cdot2\cdot 1\)
\(D=1\)
Riešenia kvadratickej rovnice teda sú:
\(a_{1,2}={-3\pm1\over 4}\), čiže \(a_1=-1\); \(a_2=-{1\over 2}\)
Vrátime sa k substitúcií \(a=\sin x\)
V prvom prípade dostávame \(\sin a_1 = -1 \Rightarrow a_1={3\over 2}\pi +2k\pi\).
V prvom prípade je \(\sin a_2 = -{1\over2} \Rightarrow a_2={7\over 6}\pi +2k\pi; {11\over 6}\pi +2k\pi\).
(Riešenie je vidieť z grafu a z tabuľkových hodnôt, postupujeme podobne ako v príkladoch predchádzajúcej kapitoly.)
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{3}{2}{\pi}+2k\pi; \frac{7}{6}{\pi}+2k\pi; \frac{11}{6}{\pi}+2k\pi \}\;.\)
- Príklad 3
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\):
\({\rm tg^2}\: x +3{\rm cotg^2}\: x = 4\)
Riešenie
Použijeme vzorce \({\rm tg}\: x = \large{\sin x \over \cos x}\) a \({\rm cotg}\: x = \large{\cos x \over \sin x}\).
\(\large{\sin^2 x \over \cos^2 x} +3\large{\cos^2 x \over \sin^2 x} = 4\)
Aby výrazy v rovnici boli definované, musí platiť podmienka:
\(\cos^2 x \not= 0 \Rightarrow x \not= {\pi \over 2}+k\pi \); \(\sin^2 x \not= 0 \Rightarrow x \not= k\pi \)
Upravíme rovnicu do najjednoduchšieho tvaru s využitím spoločného menovateľa:
\(\sin^4 x +3\cos^4 x = 4\cos^2 x \sin^2 x\)
\(\sin^4 x +3\cos^4 x = 4\cos^2 x (1-\cos^2 x)\ \) (Využili sme základný vzorec \(\cos^2 x + \sin^2 x=1.)\)
\(\sin^4 x +3\cos^4 x = 4\cos^2 x - 4\cos^4 x\ \) (Platí, že \(\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (1-\cos^2 x)^2)\)
\((1-\cos^2 x)^2 + 7\cos^4 x -4\cos^2 x=0\)
\(1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x + 7\cos^4 x -4\cos^2 x = 0\)
\(8\cos^4 x - 6\cos^2 x + 1 = 0\)
Zavedieme substitúciu \(\cos^2 x = t\) a dostaneme:
\(8t^2 - 6t +1 = 0\)
Vyriešime kvadratickú rovnicu (vypočítame diskriminant a určíme korene kvadratickej rovnice, vzorce pre výpočet diskriminantu a koreňov kvadratickej rovnice sú uvedené v prvom príklade tejto kapitoly).
\(D=(-6)^2 -4\cdot8\cdot 1\)
\(D=4\)
Riešenia kvadratickej rovnice teda sú:
\(t_{1,2}={6\pm 2\over 2\cdot 8}\), čiže \(t_1={1\over 2}\); \(t_2={1\over 4}\)
Vrátime sa k substitúcií \(\cos^2 x = t\) a po dosadení za t dostaneme:
\(\cos^2 x_1 ={1 \over 2}\)
Z grafu a využitím periodičnosti funkcie kosínus dostávame koreň pre \(x_1\):
\(\cos^2 x_1 ={1 \over 2} \Rightarrow \cos x_1 = \pm {1 \over \sqrt{2}} = \pm {\sqrt{2} \over 2} \Rightarrow x_1 = {\pi \over 4} + k\pi; x_2 = {3\pi\over 4 } + k\pi = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2}, k \in \mathbb{Z} \)
V druhom prípade dostávame pre \(x_2\) :
\(\cos^2 x_1 ={1 \over 2}\)
\(\cos^2 x_2 ={1 \over 4} \Rightarrow \cos x_2 = \pm {1 \over 2} \Rightarrow x_2 = {\pi \over 3} + k\pi; x_2 = {2\over 3 \pi} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \)
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{1}{4}{\pi}+k{\pi \over 2}; \frac{1}{3}{\pi}+k\pi; \frac{2}{3}{\pi}+k\pi \}\;.\)
