Příklad 3: Rovnoběžník vepsaný do obdélníku
Do obdélníku \(ABCD\), ve kterém \(|AB| = |CD| = 8\) a \(|BC| = |AD| = 4\), je vepsán rovnoběžník \(KLMN\) tak, že vrchol \(K\) leží na úsečce \(AB\), vrchol \(L\) leží na úsečce \(BC\), vrchol \(M\) leží na úsečce \(CD\) a vrchol \(N\) leží na úsečce \(AD\), přičemž \(|AK| = |AN| = |CL| = |CM| = x\).
Pro jaké \(x\) je obsah rovnoběžníku \(KLMN\) maximální?
Řešení
1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).
Maximalizujeme obsah rovnoběžníku. Označme tuto proměnnou písmenem \(s\).
Obsah pravoúhlých trojúhelníků \(ANK\) a \(CLM\) je dohromady \(x^2.\)
Obsah pravoúhlých trojúhelníků \(BKL\) a \(DMN\) je dohromady \((4-x)(8-x).\)
Obsah rovnoběžníku \(KLMN\) je
\(s = 4\cdot 8 - x^2 - (4-x)(8-x) = -2x^2+12x.\)
2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.
Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná \(s\) závisí pouze na proměnné \(x.\)
3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné \(x\), na níž závisí proměnná \(s\), jejíž extrém hledáme.
Aby byl rovnoběžník \(KLMN\) vepsán do obdélníku \(ABCD\), musí být \(x \in ( 0, 4 \rangle\). Pro \(x = 0\) by bylo \(K = N\) a \(M = L\), tedy útvar \(KLMN\) by nebyl rovnoběžníkem.
Definiční obor proměnné \(x\) je
\(x \in ( 0, 4 \rangle .\)
4. Nyní přepíšeme vztah \(s = -2x^2+12x\) pro \(x \in ( 0, 4 \rangle\) do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné \(s\) napíšeme \(f(x)\). Z definičního oboru proměnné \(x\) stanovíme definiční obor funkce \(f.\)
\(f(x) = -2x^2+12x\) s definičním oborem \(D(f) = ( 0, 4 \rangle .\)
5. Najdeme hledaný extrém.
Hledáme globální maximum. Platí, že \(f^{\prime}(x) = -4x + 12.\)
Vzhledem k tomu, že funkce \(f\) má definovanou derivaci na celém intervalu \(( 0, 4 )\), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce \(f\) a pravý krajní bod intervalu \(( 0, 4 \rangle\), tj. \(x = 4\).
Stacionární body splňuji rovnici \(-4x + 12 = 0\). Řešením z definičního oboru funkce \(f\) je
\(x = 3.\)
Ověříme, zda má funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = 3\) globální maximum.
Funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, 4 \rangle\) spojitá. Její derivace je na intervalu \(( 0, 4 )\) všude definovaná. Navíc tam má funkce \(f\) jediný stacionární bod \(x = 3\).
K stanovení průběhu funkce \(f\) použijeme tabulkovou metodu z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Lokální extrémy tabulkovou metodou.
\((0,3)\) | \(3\) | \((3, 4)\) | \(4\) |
---|---|---|---|
\(f^{\prime}(2) = 4 \gt 0\) rostoucí |
M |
\(f^{\prime}(4) = -4 \lt 0\) klesající |
m |
Poznámka: | V tabulce je testování první derivace v krajním bodě intervalu povoleno za předpokladu, že je tam tato derivace definovaná a nenulová. |
Z průběhu funkce \(f\) je zřejmé, že lokální maximum v bodě \(x = 3\) je i globálním maximem.
Poznámka: Hledání globálního maxima bez využití derivací.
6. Zapíšeme řešení.
Rovnoběžník má maximální obsah pro \(x = 3.\)
Odkazy na příklady