\begin{align}
\end{align}
Důkazy pravidel derivování III
V této podkapilole dokážeme pravidla pro derivování následujících elementárních funkcí:
- y = x^{-1};
- y = x^n, kde n \in \mathbb Z^{-};
- y = {\rm tg}\: x;
- y = {\rm cotg}\: x.
Dále dokážeme pravidlo pro derivaci „převrácené“ funkce v a pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí u a v:
- y = \Large\frac{1}{v(x)};
- y = \Large\frac{u(x)}{v(x)}.
Pro funkci f : y = x^{-1}, x \neq 0, platí y^{\prime} = -x^{-2}.
Důkaz
Víme, že
y^{\prime}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^{-1} - x^{-1}}{\Delta x}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} [ \frac{1}{\Delta x}\cdot (\frac{1}{x+\Delta x} - \frac{1}{x})].
Limitu dále přepíšeme na
\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} [ \frac{1}{\Delta x}\cdot \frac{x - ( x + \Delta x)}{(x+\Delta x)x} ] \normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} [ \frac{1}{\Delta x}\cdot \frac{-\Delta x}{(x+\Delta x)x} ] \normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{(x+\Delta x)x} \normalsize \; =
= \; \Large -\frac{1}{x^2} \normalsize \; = \; -x^{-2}
Jestliže existuje v^{\prime}(x) a v(x) \neq 0, pak: \Large[\frac{1}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \; \Large \frac{-v^{\prime}(x)}{v^2(x)}.
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci složené funkce.
Označme
u(x) \; = \; x^{-1}.
Víme, že
\Large[\frac{1}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \; [u(v(x))]^{\prime}.
Platí, že u^{\prime}(x) \; = \; -x^{-2}. Využijeme pravidlo pro derivaci složené funkce a dostaneme
[u(v(x))]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(v(x))\cdot v^{\prime}(x) \; = \; -[v(x)]^{-2}\cdot v^{\prime}(x) \; = \; \Large \frac{-v^{\prime}(x)}{v^2(x)}
Pro funkci f : y = x^n, x \neq 0, n \in \mathbb Z^{-}, platí y^{\prime} = n x^{n-1}.
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci „převrácené“ funkce.
Víme, že
y^{\prime} \; = \; (x^n)^{\prime} \; = \; \Large[\frac{1}{x^{-n}}]^{\prime}.
Číslo -n je přirozené, takže x^{-n} umíme již derivovat.
Využijeme pravidlo pro derivaci „převrácené“ funkce a dostaneme
\Large[\frac{1}{x^{-n}}]^{\prime} \normalsize \; = \; \Large\frac{-(x^{-n})^{\prime}}{(x^{-n})^2}\normalsize \; = \; \Large\frac{-(-nx^{-n-1})}{x^{-2n}} \normalsize \; = \; nx^{-n-1} \cdot x^{2n} \; = \; nx^{-n-1+2n} \; = \; nx^{n-1}
Jestliže existují u^{\prime}(x), v^{\prime}(x) a v(x) \neq 0, pak: \Large[\frac{u(x)}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \; \Large \frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^2(x)}.
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci součinu dvou funkcí.
Označme
w(x) \; = \; \Large\frac{1}{v(x)}.
Víme, že
\Large[\frac{u(x)}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \; [u(x)w(x)]^{\prime}.
Využijeme pravidlo pro derivaci součinu dvou funkcí a dostaneme
[u(x)w(x)]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(x)w(x)+u(x)w^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{u^{\prime}(x)}{v(x)} \normalsize + u(x)\Large[\frac{1}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; =
= \; \Large\frac{u^{\prime}(x)}{v(x)} \normalsize + u(x)\Large\frac{-v^{\prime}(x)}{v^2(x)} \normalsize \; = \; \Large\frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^2(x)}
Pro funkci f : y = {\rm tg}\: x, x \neq \Large\frac{\pi}{2}\normalsize + k\pi, k \in \mathbb Z, platí y^{\prime} = \Large\frac{1}{\cos^2{x}}.
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí.
Víme, že
y^{\prime} \; = \; {\rm tg}^{\prime}\: x \; = \; {\Large [\frac{\sin{x}}{\cos{x}}]^{\prime}}.
Využijeme pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí, a dostaneme
{\Large [\frac{\sin{x}}{\cos{x}}]^{\prime}} \; = \; \Large\frac{(\sin{x})^{\prime}\cos{x} - \sin{x}(\cos{x})^{\prime}}{\cos^2{x}}\normalsize \; = \; \Large\frac{\cos{x}\cos{x} - \sin{x}\:(-\sin{x})}{\cos^2{x}}\normalsize \; =
= \; \Large\frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}}\normalsize \; = \; \Large\frac{1}{\cos^2{x}}
Pro funkci f : y = {\rm cotg}\: x, x \neq k\pi, k \in \mathbb Z, platí y^{\prime} = \Large\frac{-1}{\sin^2{x}}.
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí.
Víme, že
y^{\prime} \; = \; {\rm cotg}^{\prime}\: x \; = \; {\Large [\frac{\cos{x}}{\sin{x}}]^{\prime}}.
Využijeme pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí, a dostaneme
{\Large [\frac{\cos{x}}{\sin{x}}]^{\prime}} \; = \; \Large\frac{(\cos{x})^{\prime}\sin{x} - \cos{x}(\sin{x})^{\prime}}{\sin^2{x}}\normalsize \; = \; \Large\frac{-\sin{x}\sin{x} - \cos{x}\cos{x}}{\sin^2{x}}\normalsize \; =
= \; \Large\frac{-\sin^2{x} - \cos^2{x}}{\sin^2{x}}\normalsize \; = \; \Large\frac{-1}{\sin^2{x}}
