Pravidla derivování - úvod
V této kapitole se naučíte derivovat většinu funkcí, se kterými jste se na střední škole setkali. K úspěšnému derivování funkcí je nutné znát pravidla pro jejich derivování. Pravidla se dělí na pravidla derivací elementárních funkcí a na obecná pravidla.
Pod tímto úvodem jsou uvedeny tabulky s pravidly derivování. Pravidla jsou rozdělena do pěti částí, podle podkapitol, ve kterých jsou dokázána nebo alespoň podrobněji komentována. V každé z těchto částí, s výjimkou poslední, jsou uvedeny dvě tabulky. Jedna obsahuje pravidla derivací elementárních funkcí a druhá obsahuje obecná pravidla.
V podkapitole Příklady a úlohy jsou uvedeny příklady a úlohy na procvičení derivování. V navazující podkapitole Zjednodušování výrazů si můžete procvičit, jak lze někdy před samotným derivováním derivovaný výraz výhodně zjednodušit a ušetřit si tak mnoho práce navíc. V podkapitole Interaktivní část si můžete prohlédnout pomocí apletu, jak vypadají grafy derivací elementárních funkcí.
Pro tiskovou verzi pravidel ve formátu pdf klikněte >zde<. V tiskových volbách můžete zvolit možnost vytištění dvou stránek na jednu stranu papíru. Pak budete mít všechna pravidla vytištěna na jedené straně.
Komentář k tabulkám s pravidly derivování
Ve sloupcích se záhlavím podmínka je uvedena podmínka platnosti pravidla. Není-li tam uvedeno nic, pak pravidlo platí pro všechna reálná \(x\).
Ve sloupcích se záhlavím parametry / konstanty jsou uvedeny parametry, resp. konstanty, které se v pravidle vyskytují, a obor jejich možných hodnot.
V obecných pravidel se vyskytují funkce \(u\) a \(v\). Označují libovolné funkce z množiny reálných čísel do množiny reálných čísel.
Z každého řádku v tabulkách je odkaz na důkaz nebo komentář v příslušné podkapitole.
Pravidla derivování I
| \(y =\) | \(y^{\prime} =\) | podmínka | parametry / konstanty |
|---|---|---|---|
| \(\rm c\) | 0 | \({\rm c} \in \mathbb R\) | |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(x \in \mathbb R\) | \(n \in \mathbb N\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(x \in \mathbb R\) |
| pravidlo | podmínka |
|---|---|
| \([au(x)]^{\prime} \; = \; au^{\prime}(x)\) | \(u^{\prime}(x)\) existuje, \(a \in \mathbb R\) je konstanta |
| \([u(x)+v(x)]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)\) | \(u^{\prime}(x)\) a \(v^{\prime}(x)\) existují |
| \([u(x)-v(x)]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(x)-v^{\prime}(x)\) | \(u^{\prime}(x)\) a \(v^{\prime}(x)\) existují |
| \([u(x)v(x)]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)\) | \(u^{\prime}(x)\) a \(v^{\prime}(x)\) existují |
Pravidla derivování II
| \(y =\) | \(y^{\prime} =\) | podmínka | parametry / konstanty |
|---|---|---|---|
| \(\sin{x}\) | \(\cos{x}\) | \(x \in \mathbb R\) | |
| \(\cos{x}\) | \(-\sin{x}\) | \(x \in \mathbb R\) | |
| \(a^x\) | \(a^x\ln{a}\) | \(x \in \mathbb R\) | \(a \in \mathbb R^{+}\) |
| pravidlo | podmínka |
|---|---|
| \([u(v(x))]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(v(x))\cdot v^{\prime}(x)\) | \(u^{\prime}(v(x))\) a \(v^{\prime}(x)\) existují |
Pravidla derivování III
| \(y =\) | \(y^{\prime} =\) | podmínka | parametry / konstanty |
|---|---|---|---|
| \(x^{-1}\) | \(-x^{-2}\) | \(x \neq 0\) | |
| \(x^{n}\) | \(nx^{n-1}\) | \(x \neq 0\) | \(n \in \mathbb Z^{-} = \{-1,-2, \ldots \}\) |
| \({\rm tg}\:x\) | \(\Large \frac{1}{\cos^2{x}}\) | \(x \neq \Large\frac{\pi}{2}\normalsize + k\pi\), \(k \in \mathbb Z\) |
|
| \({\rm cotg}\:x\) | \(\Large \frac{-1}{\sin^2{x}}\) | \(x \neq k\pi\), \(k \in \mathbb Z\) |
| pravidlo | podmínka |
|---|---|
| \(\Large[\frac{1}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \; \Large \frac{-v^{\prime}(x)}{v^2(x)}\) | \(v^{\prime}(x)\) existuje, \(v(x) \neq 0\) |
| \(\Large[\frac{u(x)}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \; \Large \frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^2(x)}\) | \(u^{\prime}(x)\) a \(v^{\prime}(x)\) existují, \(v(x) \neq 0\) |
Pravidla derivování IV
| \(y =\) | \(y^{\prime} =\) | podmínka | parametry / konstanty |
|---|---|---|---|
| \(\ln{x}\) | \(\Large\frac{1}{x}\) | \(x \in \mathbb R^{+}\) | |
| \(x^a\) | \(ax^{a-1}\) | \(x \in \mathbb R^{+}\) | \(a \in \mathbb R\) |
| \(\log_a x\) | \(\Large\frac{1}{x\ln{a}}\) | \(x \in \mathbb R^{+}\) | \(a \in \mathbb R^{+}\setminus \{1\}\) |
| pravidlo | podmínka |
|---|---|
| \(u^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{(u^{-1})^{\prime}(u(x))}\) | derivace \((u^{-1})^{\prime}(u(x))\) existuje a je \(\neq 0\), \(u\) je monotónní a spojitá |
| Pozor: \(u^{-1}\) označuje inverzní funkci k \(u\) a ne její převrácenou hodnotu \(\Large\frac{1}{u}\) | |
Pravidla derivování V
| \(y =\) | \(y^{\prime} =\) | podmínka | parametry / konstanty |
|---|---|---|---|
| \(\arcsin{x}\) | \(\Large\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(x \in (-1,1)\) | |
| \(\arccos{x}\) | \(\Large\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(x \in (-1,1)\) | |
| \({\rm arctg}\:x\) | \(\Large\frac{1}{1+x^2}\) | \(x \in \mathbb R\) | |
| \({\rm arccotg}\:x\) | \(\Large\frac{-1}{1+x^2}\) | \(x \in \mathbb R\) |
