Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/autoload/mtable.js

Tisková verze
\begin{align} \end{align}

Příklad 1: Cesta na staveniště

Staveniště v bodě A je vzdáleno 4 km od bodu B ležícího na silnici vedoucí do překladiště stavebního materiálu v bodě C. Délka silnice z bodu B do bodu C je 6 km. Úsečky BA a BC svírají pravý úhel. Ze silnice je třeba vybudovat přímou provizorní cestu na staveniště. Náklady na přepravu materiálů po silnici jsou 3 Kč/km. Náklady na přepravu materiálů po provizorní cestě jsou 5 Kč/km.

Ve kterém místě na silnici je třeba vybudovat odbočku na provizorní cestu, aby celková cena za přepravu z překladiště stavebního materiálu v bodě C do staveniště v bodě A byla nejnižší, a jaká cena to bude? Situace je znázorněna v následujícím apletu.

 
 

Řešení

Odbočku ze silnice na provizorní cestu označíme jako bod D.

 

1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).

Minimalizujeme cenu přepravy. Označme tuto proměnnou písmenem c (jako cena).

Délka úsečky BD v km je x..
Délka úsečky AD v km je  \sqrt{|AB|^2+|BD|^2} = \sqrt{16+x^2}.
Cena za přepravu pro úsečce AD v Kč je  5\sqrt{16+x^2}.

Délka úsečky DC v km je  |BC| - |BD| = 6-x.
Cena za přepravu pro úsečce DC v Kč je  3(6-x).

Celková cena za přepravu v Kč je

c = 5\sqrt{16+x^2} + 3(6-x).

 

2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.

Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná c závisí pouze na proměnné x.

 

3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné x, na níž závisí proměnná c, jejíž extrém hledáme.

Je zřejmé, že definiční obor proměnné x je

x \in \langle 0, 6 \rangle.

 

4. Nyní přepíšeme vztah c = 5\sqrt{16+x^2} + 3(6-x) pro x \in \langle 0, 6 \rangle do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné c napíšeme f(x). Z definičního oboru proměnné x stanovíme definiční obor funkce f.

f(x) = 5\sqrt{16+x^2} + 3(6-x) s definičním oborem D(f) = \langle 0, 6 \rangle.

 

5. Najdeme hledaný extrém.

Hledáme globální minimum. Platí, že f^{\prime}(x) = -3+\dfrac{5x}{\sqrt{16+x^2}}.

Vzhledem k tomu, že funkce f má definovanou derivaci na celém intervalu ( 0, 6 ), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce f a krajní body intervalu \langle 0, 6 \rangle, tj. x = 0 a x = 6.

Stacionární body splňuji rovnici -3+\dfrac{5x}{\sqrt{16+x^2}} = 0. Řešením z definičního oboru funkce f je

x = 3.

Ověříme, zda má funkce f ve stacionárním bodě x = 3 globální minimum.

Funkce f je na intervalu \langle 0, 6 \rangle spojitá. Její derivace je na intervalu ( 0, 6 ) všude definovaná. Navíc tam má funkce f jediný stacionární bod x = 3. Proto přicházejí v úvahu pouze tyto možnosti:

(a)  funkce f je na intervalu \langle 0, 3 \rangle klesající a na intervalu \langle 3, 6 \rangle rostoucí;
(b)  funkce f je na intervalu \langle 0, 3 \rangle rostoucí a na intervalu \langle 3, 6 \rangle klesající;
(c)  funkce f je na intervalu \langle 0, 6 \rangle buď jen rostoucí, nebo jen klesající.

Přitom jsme využili teorii z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Monotónnost tabulkovou metodou.

Určíme hodnoty funkce f v bodech x = 0, x = 3 a x = 6:
f(0) = 38;
f(3) = 34;
f(6) \doteq 36{,}06.

Vidíme, že nemohou platit možnosti (b) a (c). Musí tedy platit možnost (a). To znamená, že funkce f má v bodě x = 3 globální minimum.

 

6. Zapíšeme řešení.

Celková cena za přepravu bude nejnižší pro x = 3 km a činí f(3) = 34 Kč.

 

Odkazy na příklady

 
* Př. 1: Cesta na staveniště   Př. 6: Trojúhelník pod parabolou
  Př. 2: Oplocení   Př. 7: Vitráž
  Př. 3: Rovnoběžník vepsaný do obdélníku   Př. 8: Vzdálenost dvou bodů na dvou křivkách
  Př. 4: Rovnoramenný trojúhelník   Př. 9: Vzdálenost dvou pohybujících se osob
  Př. 5: Stavba bazénu   Př. 10: Vzdálenost pevného bodu a bodu na křivce