Příklad 1: Cesta na staveniště
Staveniště v bodě A je vzdáleno 4 km od bodu B ležícího na silnici vedoucí do překladiště stavebního materiálu v bodě C. Délka silnice z bodu B do bodu C je 6 km. Úsečky BA a BC svírají pravý úhel. Ze silnice je třeba vybudovat přímou provizorní cestu na staveniště. Náklady na přepravu materiálů po silnici jsou 3 Kč/km. Náklady na přepravu materiálů po provizorní cestě jsou 5 Kč/km.
Ve kterém místě na silnici je třeba vybudovat odbočku na provizorní cestu, aby celková cena za přepravu z překladiště stavebního materiálu v bodě C do staveniště v bodě A byla nejnižší, a jaká cena to bude? Situace je znázorněna v následujícím apletu.
Řešení
Odbočku ze silnice na provizorní cestu označíme jako bod D.
1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).
Minimalizujeme cenu přepravy. Označme tuto proměnnou písmenem c (jako cena).
Délka úsečky BD v km je x..
Délka úsečky AD v km je \sqrt{|AB|^2+|BD|^2} = \sqrt{16+x^2}.
Cena za přepravu pro úsečce AD v Kč je 5\sqrt{16+x^2}.
Délka úsečky DC v km je |BC| - |BD| = 6-x.
Cena za přepravu pro úsečce DC v Kč je 3(6-x).
Celková cena za přepravu v Kč je
c = 5\sqrt{16+x^2} + 3(6-x).
2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.
Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná c závisí pouze na proměnné x.
3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné x, na níž závisí proměnná c, jejíž extrém hledáme.
Je zřejmé, že definiční obor proměnné x je
x \in \langle 0, 6 \rangle.
4. Nyní přepíšeme vztah c = 5\sqrt{16+x^2} + 3(6-x) pro x \in \langle 0, 6 \rangle do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné c napíšeme f(x). Z definičního oboru proměnné x stanovíme definiční obor funkce f.
f(x) = 5\sqrt{16+x^2} + 3(6-x) s definičním oborem D(f) = \langle 0, 6 \rangle.
5. Najdeme hledaný extrém.
Hledáme globální minimum. Platí, že f^{\prime}(x) = -3+\dfrac{5x}{\sqrt{16+x^2}}.
Vzhledem k tomu, že funkce f má definovanou derivaci na celém intervalu ( 0, 6 ), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce f a krajní body intervalu \langle 0, 6 \rangle, tj. x = 0 a x = 6.
Stacionární body splňuji rovnici -3+\dfrac{5x}{\sqrt{16+x^2}} = 0. Řešením z definičního oboru funkce f je
x = 3.
Ověříme, zda má funkce f ve stacionárním bodě x = 3 globální minimum.
Funkce f je na intervalu \langle 0, 6 \rangle spojitá. Její derivace je na intervalu ( 0, 6 ) všude definovaná. Navíc tam má funkce f jediný stacionární bod x = 3. Proto přicházejí v úvahu pouze tyto možnosti:
(a) funkce f je na intervalu \langle 0, 3 \rangle klesající a na intervalu \langle 3, 6 \rangle rostoucí;
(b) funkce f je na intervalu \langle 0, 3 \rangle rostoucí a na intervalu \langle 3, 6 \rangle klesající;
(c) funkce f je na intervalu \langle 0, 6 \rangle buď jen rostoucí, nebo jen klesající.
Přitom jsme využili teorii z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Monotónnost tabulkovou metodou.
Určíme hodnoty funkce f v bodech x = 0, x = 3 a x = 6:
f(0) = 38;
f(3) = 34;
f(6) \doteq 36{,}06.
Vidíme, že nemohou platit možnosti (b) a (c). Musí tedy platit možnost (a). To znamená, že funkce f má v bodě x = 3 globální minimum.
6. Zapíšeme řešení.
Celková cena za přepravu bude nejnižší pro x = 3 km a činí f(3) = 34 Kč.
Odkazy na příklady