\begin{align}
\end{align}
Zjednodušování výrazů
Mnoho práce lze ušetřit, když před derivováním derivovaný výraz zjednodušíte. V této kapitole jsou uvedeny úlohy, na kterých si můžete tuto dovednost procvičit.
Úloha 1
Zjednoduště výraz \({\Large\frac{x^2-x-2}{x}}\) za předpokladu, že \(x \neq 0\).
\({\Large\frac{x^2-x-2}{x}}=\)\(\; {\Large\frac{x^2}{x}} - {\Large\frac{x}{x}} - {\Large\frac{2}{x}} =\)\(\; x-1-2x^{-1}\)
Úloha 2
Zjednoduště výraz \({\Large\frac{3x+2\sqrt{x}-3}{\sqrt[3]{x}}}\) za předpokladu, že \(x \gt 0\).
Nápověda: \({\large x} = {\large x^1}, \; {\large\sqrt{x}} = {\large x^\frac{1}{2}}, \; {\large\sqrt[3]{x}} = {\large x^\frac{1}{3}}, \; {\Large\frac{x^a}{x^b}} = x^{a-b}\).
\({\Large\frac{3x+2\sqrt{x}-3}{\sqrt[3]{x}}} =\)\({\Large\frac{3x}{\sqrt[3]{x}}} + {\Large\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}} - {\Large\frac{3}{\sqrt[3]{x}}} =\)\({\large \; 3x^{1-\frac{1}{3}}+2x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}-3x^{-\frac{1}{3}}} =\)
\(= \large \; 3x^\frac{2}{3}+2x^\frac{1}{6}-3x^{-\frac{1}{3}}\)
Úloha 3
Zjednoduště výraz \({\Large\frac{(x-1)^3}{x}}\) za předpokladu, že \(x \neq 0\).
Nápověda: V tomto případě je výhodné umocnit čitalel a pak ho vydělit jmenovatelem.
\({\Large\frac{(x-1)^3}{x}} =\)\(\; {\Large\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x}} =\)\(\; x^2-3x+3-x^{-1}\)
Úloha 4
Zjednoduště výraz \({\Large\frac{x^2-x-2}{x+1}}\) za předpokladu, že \(x \neq -1\).
Nápověda: Zkontrolujte dosazením, zda je číslo -1, pro které je x + 1 = 0, kořenem čitatele. Pokud ano, pak lze zlomek vykrátit výrazem x + 1.
\({\Large\frac{x^2-x-2}{x+1}} =\)\(\;{\Large\frac{(x+1)(x-2)}{x+1}} =\)\(\; x-2\)
Úloha 5
Zjednoduště výraz \({\Large\frac{x^3+1}{x+1}}\) za předpokladu, že \(x \neq -1\).
Nápověda: \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\).
\({\Large\frac{x^3+1}{x+1}} =\)\(\; {\Large\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}} =\)\(\; x^2-x+1\)
Úloha 6
Zjednoduště výraz \({\Large\frac{\sqrt{x}\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}{x^2}}\) za předpokladu, že \(x \gt 0\).
Nápověda: \(x^a\cdot x^b = x^{a+b}, \; (x^a)^b = x^{ab}\).
\({\Large\frac{\sqrt{x}\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}{x^2}} =\)\(\; {\Large\frac{x^\frac{1}{2}(x\cdot x^\frac{1}{2})^\frac{1}{3}}{x^2}} =\)\(\; x^{-2} \large x^\frac{1}{2}(x^{1+\frac{1}{2}})^\frac{1}{3} \normalsize =\)\(\; \large x^{-\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}} \normalsize =\)\(\; \large x^{-\frac{3}{2}} x^\frac{1}{2} \normalsize =\)\(\; x^{-1}\)
Úloha 7
Zjednoduště výraz \({\Large\frac{\cos{2x}}{\cos{x}+\sin{x}}}\) za předpokladu, že \(\cos{x}+\sin{x} \neq 0\).
\({\Large\frac{\cos{2x}}{\cos{x}+\sin{x}}} =\)\(\; {\Large\frac{\cos^2{x}-\sin^2{x}}{\cos{x}+\sin{x}}} =\)\(\; {\Large\frac{(\cos{x}-\sin{x})(\cos{x}+\sin{x})}{\cos{x}+\sin{x}}} =\)\(\; \cos{x}-\sin{x}\)
Úloha 8
Zjednoduště výraz \({\Large\frac{1+\cos{2x}}{3\cos{x}}}\) za předpokladu, že \(\cos{x} \neq 0\).
\({\Large\frac{1+\cos{2x}}{3\cos{x}}} =\)\(\; {\Large\frac{1+\cos^2{x}-\sin^2{x}}{3\cos{x}}} =\)\(\; {\Large\frac{(1-\sin^2{x})+\cos^2{x}}{3\cos{x}}} =\)\(\; {\Large\frac{2\cos^2{x}}{3\cos{x}}} =\)\(\; {\Large\frac{2}{3}}\cdot\cos{x}\)
Úloha 9
Zjednoduště výraz \({\Large\frac{x^2-4x+4}{x+1}}\) za předpokladu, že \(x \neq -1\).
Nápověda: Využijte znalost dělení dvou polynomů.
\({\Large\frac{x^2-4x+4}{x+1}} =\)\(\; x-5+9(x+1)^{-1}\)
Úloha 10
Zjednoduště výraz \({\Large\frac{x^2+2x-1}{x-2}}\) za předpokladu, že \(x \neq 2\).
Nápověda: Využijte znalost dělení dvou polynomů.
\({\Large\frac{x^2+2x-1}{x-2}} =\)\(\; x+4+7(x-2)^{-1}\)
Úloha 11
Zjednoduště výraz \({\Large\frac{x-3}{2x^2-5x-3}}\) za předpokladu, že \(2x^2-5x-3 \neq 0\).
Nápověda: Je výhodné zkontrolovat, zda je číslo 3, pro které je x - 3 = 0, kořenem jmenovatele. Pokud ano, pak lze zlomek vykrátit výrazem x - 3.
\({\Large\frac{x-3}{2x^2-5x-3}} =\)\(\; {\Large\frac{x-3}{2(x+\frac{1}{2})(x-3)}} =\)\(\; \frac{1}{2} (x+\frac{1}{2})^{-1}\)
