\begin{align}
\end{align}
Důkazy pravidel derivování I
V této podkapilole dokážeme pravidla pro derivování následujících elementárních funkcí:
- \(y = c\), kde \(c\) je reálná konstatna;
- \(y = x^n\), kde \(n \in \mathbb N\).
- \(y = e^x\);
Dále dokážeme pravidlo pro derivaci funkce \(u\) násobené konstantou, pravidla pro derivaci součtu a rozdílu funkcí \(u\) a \(v\) a pravidlo pro derivaci součinu funkcí \(u\) a \(v\):
- \(y = au(x)\), kde \(a \in \mathbb R\);
- \(y = u(x)+v(x)\);
- \(y = u(x)-v(x)\);
- \(y = u(x)v(x)\);
Pro funkci \(f : y = c\), \(c \in \mathbb R\), platí \(y^{\prime} = 0\).
Důkaz
Víme, že
\(y^{\prime} \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\).
Limitu dále přepíšeme na
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{c - c}{\Delta x} \normalsize \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} \normalsize \; = \; 0\)
Pro funkci \(f : y = x^n\), \(x \in \mathbb R\), \(n \in \mathbb N\), platí \(y^{\prime} = n x^{n-1}\).
Důkaz
Při důkazu se využije vztah
\((a+b)^n \; = \; \Large\sum\limits_{i=0}^n {n \choose i} \normalsize a^{n-i} b^i \; = \; a^n + na^{n-1}b + \ldots + nab^{n-1} + b^n\).
Víme, že
\(y^{\prime}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^{n} - x^{n}}{\Delta x}\).
S použitím uvedeného vztahu přepíšeme limitu na
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ x^n + nx^{n-1}\Delta x + {n \choose 2}x^{n-2}\Delta x^2 + \ldots + nx\Delta x^{n-1} + \Delta x^n - x^n}{\Delta x} \normalsize \; =\)
\(= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ nx^{n-1}\Delta x + {n \choose 2}x^{n-2}\Delta x^2 + \ldots + nx\Delta x^{n-1} + \Delta x^n}{\Delta x} \normalsize \; = \)
\(= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \normalsize ( nx^{n-1} + {n \choose 2}x^{n-2}\Delta x + \ldots + nx\Delta x^{n-2} + \Delta x^{n-1} ) \; = \; nx^{n-1}\)
Pro funkci \(f : y = e^x\), \(x \in \mathbb R\), platí \(y^{\prime} = e^x\).
Důkaz
Při důkazu se využije vztah
\({\Large\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}}\normalsize \; = \; 1\).
Víme, že
\(y^{\prime} \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{e^{x+\Delta x} - e^{x}}{\Delta x}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{e^x(e^{\Delta x} - 1)}{\Delta x}\).
Limitu dále přepíšeme na
\(e^x \cdot\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \normalsize \; = \; e^x \cdot 1 \; = \; e^x\)
Jestliže existuje \(u^{\prime}(x)\), pak pro libovolné \(a \in \mathbb R\): \([au(x)]^{\prime} \; = \; au^{\prime}(x)\).
Poznámka
Jestliže existuje \(u^{\prime}(x)\), pak pro libovolné \(a \in \mathbb R\setminus \{0\}\): \(\Large[\frac{u(x)}{a}]^{\prime} \normalsize \; = \; \Large\frac{u^{\prime}(x)}{a}\).
Důkaz
Víme, že
\([au(x)]^{\prime} \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{au(x+\Delta x) - au(x)}{\Delta x}\).
Limitu dále přepíšeme na
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \large a\Large\frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} \normalsize \; = \; \large a\cdot\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} \normalsize \; =\)
\(= \; au^{\prime}(x)\)
Důkaz poznámky
\(\Large[\frac{u(x)}{a}]^{\prime} \normalsize \; = \; \Large[\frac{1}{a}\normalsize u(x)\Large]^{\prime} \normalsize \; = \; \Large\frac{1}{a}\normalsize u^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{u^{\prime}(x)}{a}\).
Při důkazu jsme použili pravidlo pro derivaci funkce násobené konstantou. Konstanta je rovna \(\Large\frac{1}{a}\).
Jestliže existují \(u^{\prime}(x)\) a \(v^{\prime}(x)\), pak: \([u(x)+v(x)]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)\).
Důkaz
Víme, že
\([u(x)+v(x)]^{\prime} \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{[u(x+\Delta x)+v(x+\Delta x)] - [u(x)+v(x)]}{\Delta x}\).
Limitu dále přepíšeme na
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} [\frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x}\normalsize+\Large\frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}]\normalsize \; =\)
\(= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x}\normalsize+\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} \normalsize \; =\)
\(= \; u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)\)
Jestliže existují \(u^{\prime}(x)\) a \(v^{\prime}(x)\), pak: \([u(x)-v(x)]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(x)-v^{\prime}(x)\).
Důkaz
Víme, že
\([u(x)-v(x)]^{\prime} \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{[u(x+\Delta x)-v(x+\Delta x)] - [u(x)-v(x)]}{\Delta x}\).
Limitu dále přepíšeme na
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} [\frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x}\normalsize-\Large\frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}]\normalsize \; =\)
\(= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x}\normalsize-\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} \normalsize \; =\)
\(= \; u^{\prime}(x)-v^{\prime}(x)\)
Jestliže existují \(u^{\prime}(x)\) a \(v^{\prime}(x)\), pak: \([u(x)v(x)]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)\).
Důkaz jako rozšiřující učivo
Víme, že
\([u(x)v(x)]^{\prime} \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)\; -\; u(x)v(x)}{\Delta x}\).
Limitu dále přepíšeme na
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)\; -\;u(x)v(x+\Delta x)\;+\;u(x)v(x+\Delta x)\;-\; u(x)v(x)}{\Delta x} \normalsize \; =\)
\(= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{[u(x+\Delta x) -u(x)]v(x+\Delta x)\; + \; u(x)[v(x+\Delta x)- v(x)]}{\Delta x} \normalsize \; =\)
\(= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} [\frac{u(x+\Delta x) -u(x)}{\Delta x}\normalsize v(x+\Delta x)\Large ] \normalsize \; + \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} [\normalsize u(x)\Large\frac{v(x+\Delta x)- v(x)}{\Delta x}] \normalsize \; =\)
\(= \; \Large [\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) -u(x)}{\Delta x} ] \normalsize v(x) \; + \; u(x)\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x)- v(x)}{\Delta x} \normalsize \; =\)
\(= \; u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)\)
