\begin{align}
\end{align}
Derivace v bodě
Na konci předcházející podkapitoly jsme se zabývali limitou uvedenou v následující definici. Ukázali jsme, že tato limita má geometrickou interpretaci, udává směrnici tečny ke grafu funkce f v bodě [x_0;f(x_0)].
Definice
Mějme funkci f definovanou v jistém okolí bodu x_0. Je-li
\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
vlastní, pak ji nazýváme derivací funkce f v bodě x_0 a označujeme ji f^{\prime}(x_0).
Poznámka
Limitu uvedenou v definici lze také ekvivalentně zapsat jako
\Large\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} .
Pokud limita neexistuje nebo je nevlastní, pak není derivace funkce f v bodě x_0 definována.
Má-li funkce f v bodě x_0 derivaci, pak lze zapsat rovnici tečny k jejímu grafu v bodě [x_0;f(x_0)] takto
y - f(x_0) \; = \; f^{\prime}(x_0) \cdot (x - x_0) ,
kde hodnota f^{\prime}(x_0) je směrnicí této tečny.
Poznámka
Má-li funkce v daném bodě derivaci, pak je v tomto bodě i spojitá.
Pozor: Opačné tvrzení neplatí. Ilustrujícím příkladem je funkce f(x) = |x|. V bodě x_0 = 0 je tato funkce spojitá, ale nemá v něm definovanou derivaci. Důkaz je založen na tom, že limitu, pomocí které derivaci počítáme, rozdělíme na limitu zleva (\Delta x \to 0-) a na limitu zprava (\Delta x \to 0+) a zjistíme, že obě limity jsou různé. To znamená, že hledaná oboustranná limita (\Delta x \to 0) neexistuje. 
Z definice víme, že
f^{\prime}(0)\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{|0+\Delta x| - |0|}{\Delta x}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x\,|}{\Delta x} .
Neexistence této limity plyne z toho, že limity z leva a zprava jsou
\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} \normalsize = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{-\Delta x}{\Delta x}\normalsize \; = \; -1
\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} \normalsize = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta x}{\Delta x}\normalsize \; = \; 1
Úloha 1
Je dána funkce f(x) = x^2. Určete její derivaci v bodě x_0 = 2.
Z definice víme, že
f^{\prime}(x_0)\normalsize\; = \; f^{\prime}(2)\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(2+\Delta x) - f(2)}{\Delta x} ,
což dále upravíme na
\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(2+\Delta x)^2 - 2^2}{\Delta x} \normalsize = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{[2^2+2\cdot 2\Delta x + (\Delta x)^2] - 2^2}{\Delta x}\normalsize \; =
= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}\normalsize \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(4 + \Delta x)\cdot\Delta x}{\Delta x}\normalsize \; =
= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \normalsize ( 4 + \Delta x ) \; = \; 4
Úloha 2
Je dána funkce f(x) = x^3. Určete její derivaci v bodě x_0 = 1.
Z definice víme, že
f^{\prime}(x_0)\normalsize\; = \; f^{\prime}(1)\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x) - f(1)}{\Delta x} ,
což dále upravíme na
\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\Delta x)^3 - 1^3}{\Delta x} \normalsize = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{[1^3+3\cdot 1^2\Delta x + 3\cdot 1(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3] - 1^3}{\Delta x}\normalsize \; =
= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3\Delta x + 3(\Delta x)^2+(\Delta x)^3}{\Delta x}\normalsize \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{[3 + 3\Delta x + (\Delta x)^2]\cdot\Delta x}{\Delta x}\normalsize \; =
= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \normalsize [ 3 + 3\Delta x + (\Delta x)^2] \; = \; 3
Úloha 3
Je dána funkce f(x) = -3x + 1. Určete její derivaci v bodě x_0 \in \mathbb R.
Z definice víme, že
f^{\prime}(x_0)\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} ,
což dále upravíme na
\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-3(x_0 + \Delta x) + 1 - (-3x_0 + 1)}{\Delta x} \normalsize = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-3x_0 - 3\Delta x + 1 + 3x_0 - 1}{\Delta x}\normalsize \; =
= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-3\Delta x}{\Delta x}\normalsize \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0}\normalsize -3\; = -3
Výsledek potvrzuje pravidlo, že hodnotou derivace lineární funkce v libovolném bodě je směrnice této lineární funkce.
