\begin{align}
\end{align}
Derivace v bodě
Na konci předcházející podkapitoly jsme se zabývali limitou uvedenou v následující definici. Ukázali jsme, že tato limita má geometrickou interpretaci, udává směrnici tečny ke grafu funkce \(f\) v bodě \([x_0;f(x_0)]\).
Definice
Mějme funkci \(f\) definovanou v jistém okolí bodu \(x_0\). Je-li
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)
vlastní, pak ji nazýváme derivací funkce \(f\) v bodě \(x_0\) a označujeme ji \(f^{\prime}(x_0)\).
Poznámka
Limitu uvedenou v definici lze také ekvivalentně zapsat jako
\(\Large\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\) .
Pokud limita neexistuje nebo je nevlastní, pak není derivace funkce \(f\) v bodě \(x_0\) definována.
Má-li funkce \(f\) v bodě \(x_0\) derivaci, pak lze zapsat rovnici tečny k jejímu grafu v bodě \([x_0;f(x_0)]\) takto
\(y - f(x_0) \; = \; f^{\prime}(x_0) \cdot (x - x_0)\) ,
kde hodnota \(f^{\prime}(x_0)\) je směrnicí této tečny.
Poznámka
Má-li funkce v daném bodě derivaci, pak je v tomto bodě i spojitá.
Pozor: Opačné tvrzení neplatí. Ilustrujícím příkladem je funkce \(f(x) = |x|\). V bodě \(x_0 = 0\) je tato funkce spojitá, ale nemá v něm definovanou derivaci. Důkaz je založen na tom, že limitu, pomocí které derivaci počítáme, rozdělíme na limitu zleva (\(\Delta x \to 0-\)) a na limitu zprava (\(\Delta x \to 0+\)) a zjistíme, že obě limity jsou různé. To znamená, že hledaná oboustranná limita (\(\Delta x \to 0\)) neexistuje. 
Z definice víme, že
\(f^{\prime}(0)\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{|0+\Delta x| - |0|}{\Delta x}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x\,|}{\Delta x}\) .
Neexistence této limity plyne z toho, že limity z leva a zprava jsou
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} \normalsize = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{-\Delta x}{\Delta x}\normalsize \; = \; -1\)
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} \normalsize = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta x}{\Delta x}\normalsize \; = \; 1\)
Úloha 1
Je dána funkce \(f(x) = x^2\). Určete její derivaci v bodě \(x_0 = 2\).
Z definice víme, že
\(f^{\prime}(x_0)\normalsize\; = \; f^{\prime}(2)\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(2+\Delta x) - f(2)}{\Delta x}\) ,
což dále upravíme na
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(2+\Delta x)^2 - 2^2}{\Delta x} \normalsize = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{[2^2+2\cdot 2\Delta x + (\Delta x)^2] - 2^2}{\Delta x}\normalsize \; =\)
\(= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}\normalsize \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(4 + \Delta x)\cdot\Delta x}{\Delta x}\normalsize \; =\)
\(= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \normalsize ( 4 + \Delta x ) \; = \; 4\)
Úloha 2
Je dána funkce \(f(x) = x^3\). Určete její derivaci v bodě \(x_0 = 1\).
Z definice víme, že
\(f^{\prime}(x_0)\normalsize\; = \; f^{\prime}(1)\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x) - f(1)}{\Delta x}\) ,
což dále upravíme na
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\Delta x)^3 - 1^3}{\Delta x} \normalsize = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{[1^3+3\cdot 1^2\Delta x + 3\cdot 1(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3] - 1^3}{\Delta x}\normalsize \; =\)
\(= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3\Delta x + 3(\Delta x)^2+(\Delta x)^3}{\Delta x}\normalsize \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{[3 + 3\Delta x + (\Delta x)^2]\cdot\Delta x}{\Delta x}\normalsize \; =\)
\(= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \normalsize [ 3 + 3\Delta x + (\Delta x)^2] \; = \; 3\)
Úloha 3
Je dána funkce \(f(x) = -3x + 1\). Určete její derivaci v bodě \(x_0 \in \mathbb R\).
Z definice víme, že
\(f^{\prime}(x_0)\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\) ,
což dále upravíme na
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-3(x_0 + \Delta x) + 1 - (-3x_0 + 1)}{\Delta x} \normalsize = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-3x_0 - 3\Delta x + 1 + 3x_0 - 1}{\Delta x}\normalsize \; =\)
\(= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-3\Delta x}{\Delta x}\normalsize \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0}\normalsize -3\; = -3\)
Výsledek potvrzuje pravidlo, že hodnotou derivace lineární funkce v libovolném bodě je směrnice této lineární funkce.
