L'Hospitalova pravidla
Nejprve je uvedena teorie a pak příklady a úlohy.
Teoretická část
L'Hospitalovo pravidlo 1
Nechť \({\large\lim\limits_{x \to a}}f(x) = {\large\lim\limits_{x \to a}}g(x) = 0\).
Nechť navíc existuje vlastní nebo nevlastní \({\large\lim\limits_{x \to a}}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\).
Potom existuje také \({\large\lim\limits_{x \to a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}\) a platí
\({\large\lim\limits_{x \to a}}\dfrac{f(x)}{g(x)} = {\large\lim\limits_{x \to a}}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\)
L'Hospitalovo pravidlo 2
Nechť \({\large\lim\limits_{x \to a}}|g(x)| = +\infty\).
Nechť navíc existuje vlastní nebo nevlastní \({\large\lim\limits_{x \to a}}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\).
Potom existuje také \({\large\lim\limits_{x \to a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}\) a platí
\({\large\lim\limits_{x \to a}}\dfrac{f(x)}{g(x)} = {\large\lim\limits_{x \to a}}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\)
O limitě \({\large\lim\limits_{x \to a}}f(x)\) nepředpokládáme nic, ani existenci této limity.
Poznámka
Obě pravidla platí rovněž pro limitu v bodě \(a\) zprava a zleva a pro limitu v nevlastních bodech.
Poznámka
Pokud při užití l'Hospitalova pravidla získáme opět limita typu \(\frac{0}{0}\) nebo \(\frac{\infty}{\infty}\), pak můžeme aplikovat toto pravidlo znovu, eventuálně i vícenásobně.
Příklady a úlohy
Zakrytá řešení v úlohách lze odkrýt kliknutím na začerněnou oblast.
Příklad 1
U následujících limit zjistěte, která podmínka pro použití l'Hospitalových pravidel není splněna.
| (a) | \(\lim\limits_{x \to -1}\dfrac{2x+1}{x+2}\). Tato limita není typu \(\frac{0}{0}\) ani typu \(\frac{\infty}{\infty}\). |
| (b) | \(\lim\limits_{x \to \pi}\dfrac{\sin{x}}{x}\). Tato limita není typu \(\frac{0}{0}\) ani typu \(\frac{\infty}{\infty}\). |
| (c) | \(\lim\limits_{x \to 0+}\dfrac{1}{x}\). Tato limita není typu \(\frac{0}{0}\) ani typu \(\frac{\infty}{\infty}\). |
Všimněte si, že zadané limity přesto existují. Jejich hodnoty jsou:
| (a) | -1; |
| (b) | 0; |
| (c) | \(+\infty\). |
Užití l'Hospitalova pravidla by vedlo k nesprávným výsledkům: (a) 2; (b) -1; (c) 0.
Úloha 1
U následujících limit zjistěte, která podmínka pro použití l'Hospitalových pravidel není splněna.
| (a) | \(\lim\limits_{x \to 0+}\dfrac{e^x}{x}\).
Tato limita není typu \(\frac{0}{0}\) ani typu \(\frac{\infty}{\infty}\). |
| (b) | \(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos{x}}{x^2}\).
Tato limita není typu \(\frac{0}{0}\) ani typu \(\frac{\infty}{\infty}\). |
| (c) | \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x+\cos{x}}{x}\).
Tato limita je sice typu \(\frac{\infty}{\infty}\), ale limita \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{(x+\cos{x})^{\prime}}{(x)^{\prime}}\) neexistuje. |
Všimněte si, že zadané limity přesto existují. Jejich hodnoty jsou:
| (a) | \(+\infty\); |
| (b) | \(+\infty\); |
| (c) | 1. |
V případech (a) a (b) by užití l'Hospitalova pravidla vedlo k nesprávným výsledkům 1 a -1/2. V případě (b) by bylo nutno použit l'Hospitalovo pravidlo dvakrát za sebou k získání takového výsledku, přičemž druhé použití pravidla by již bylo správné.
Příklad 2
Určete typ limity. Poté ji vypočítejte pomocí jednoho z l'Hospitalových pravidel.
| (a) | \(L = \lim\limits_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x^2+x-2}\) |
| Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 1}\dfrac{(x^2-1)^{\prime}}{(x^2+x-2)^{\prime}} = \lim\limits_{x \to 1}\dfrac{2x}{2x+1} = \dfrac{2}{3}\) | |
| (b) | \(L = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln{x}}{\sqrt{x}}\) |
| Limita je typu \(\frac{\infty}{\infty}\). \(L = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{(\ln{x})^{\prime}}{(\sqrt{x})^{\prime}} = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2}{\sqrt{x}} = 0\) | |
| (c) | \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin{x}}{x}\) |
| Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(\sin{x})^{\prime}}{(x)^{\prime}} = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos{x}}{1} = 1\) | |
| (d) | \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x^2}{e^x-1}\) |
| Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(x^2)^{\prime}}{(e^x-1)^{\prime}} = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{2x}{e^x} = 0\) |
Úloha 2
Určete typ limity. Poté ji vypočítejte pomocí jednoho z l'Hospitalových pravidel.
| (a) | \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin{3x}}{2x}\) |
Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(\sin{3x})^{\prime}}{(2x)^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{3\cos{3x}}{2}\) \(\;=\;\)\(\dfrac{3}{2}\) |
|
| (b) | \(L = \lim\limits_{x \to 2}\dfrac{x^3-8}{x-2}\) |
Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 2}\dfrac{(x^3-8)^{\prime}}{(x-2)^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 2}\dfrac{3x^2}{1}\) \(\;=\;\)\(12\) |
|
| (c) | \(L = \lim\limits_{x \to 0+}\dfrac{\ln{x}}{\frac{1}{x}}\) |
Limita je typu \(\frac{\infty}{\infty}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0+}\dfrac{(\ln{x})^{\prime}}{(\frac{1}{x})^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 0+}\dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 0+}-x\) \(\;=\;\)\(0\) |
|
| (d) | \(L = \lim\limits_{x \to 1}\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+x-2}\) |
Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 1}\dfrac{(x^2-2x+1)^{\prime}}{(x^2+x-2)^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{2x-2}{2x+1}\) \(\;=\;\)\(0\) |
|
| (e) | \(L = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\ln{x}}\) |
Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x-1)^{\prime}}{(\ln{x})^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{\frac{1}{x}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 1}\;x\) \(\;=\;\)\(1\) |
|
| (f) | \(L = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{e^x}{x}\) |
Limita je typu \(\frac{\infty}{\infty}\). \(L = \lim\limits_{x \to 1}\dfrac{(e^x)^{\prime}}{(x)^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{e^x}{1}\) \(\;=\;\)\(+\infty\) |
Úloha 3
Určete typ limity. Poté ji vypočítejte pomocí jednoho z l'Hospitalových pravidel.
| (a) | \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^x-e^{-x}}{x}\) |
Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(e^x-e^{-x})^{\prime}}{(x)^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^x+e^{-x}}{1}\) \(\;=\;\)\(2\) |
|
| (b) | \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-\cos{x}}{{\rm tg}\:x}\) |
Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(1-\cos{x})^{\prime}}{({\rm tg}\:x)^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin{x}}{\frac{1}{\cos^2{x}}}\) \(\;=\;\)\(0\) |
|
| (c) | \(L = \lim\limits_{x \to 2\pi}\dfrac{1-\cos{x}}{x-2\pi}\) |
Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 2\pi}\dfrac{(1-\cos{x})^{\prime}}{(x-2\pi)^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 2\pi}\dfrac{\sin{x}}{1}\) \(\;=\;\)\(0\) |
|
| (d) | \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{3x+\sin{2x}}{3x-\sin{2x}}\) |
Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(3x+\sin{2x})^{\prime}}{(3x-\sin{2x})^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{3+2\cos{2x}}{3-2\cos{2x}}\) \(\;=\;\)\(5\) |
|
| (e) | \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x-\sin{x}}{x^2-\sin{x}}\) |
Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(x-\sin{x})^{\prime}}{(x^2-\sin{x})^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-\cos{x}}{2x-\cos{x}}\) \(\;=\;\)\(0\) |
Příklad 3
Vypočítejte pomocí vícenásobného užití l'Hospitalových pravidel následující limity.
| (a) | \(L = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{e^x}{x^2}\) |
| Limita je typu \(\frac{\infty}{\infty}\). \(L = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{(e^x)^{\prime}}{(x^2)^{\prime}} = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{e^x}{2x}\) | |
| Limita je opět typu \(\frac{\infty}{\infty}\). \(L = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{(e^x)^{\prime}}{(2x)^{\prime}} = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{e^x}{2} = +\infty\) | |
| (b) | \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x^2}{1-\cos{x}}\) |
| Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(x^2)^{\prime}}{(1-\cos{x})^{\prime}} = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{2x}{\sin{x}}\) | |
| Limita je opět typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(2x)^{\prime}}{(\sin{x})^{\prime}} = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{2}{\cos{x}} = 2\) |
Úloha 4
Vypočítejte pomocí vícenásobného užití l'Hospitalových pravidel následující limity.
| (a) | \(L = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2^x}{x^2}\) |
Limita je typu \(\frac{\infty}{\infty}\). \(L = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{(2^x)^{\prime}}{(x^2)^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2^x\ln{2}}{2x}\) |
|
Limita je opět typu \(\frac{\infty}{\infty}\). \(L = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{(2^x\ln{2})^{\prime}}{(2x)^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2^x(\ln{2})^2}{2}\) \(\;=\;\)\(+\infty\) |
|
| (b) | \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x^2}{e^x-1-x}\) |
Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(x^2)^{\prime}}{(e^x-1-x)^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{2x}{e^x-1}\) |
|
Limita je opět typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(2x)^{\prime}}{(e^x-1)^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{2}{e^x}\) \(\;=\;\)\(2\) |
|
| (c) | \(L = \lim\limits_{x \to 2\pi}\dfrac{(x-2\pi)^2}{1-\cos{x}}\) |
Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 2\pi}\dfrac{[(x-2\pi)^2]^{\prime}}{(1-\cos{x})^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 2\pi}\dfrac{2(x-2\pi)}{\sin{x}}\) |
|
Limita je opět typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 2\pi}\dfrac{[2(x-2\pi)]^{\prime}}{(\sin{x})^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 2\pi}\dfrac{2}{\cos{x}}\) \(\;=\;\)\(2\) |
|
| (d) | \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x^3}{x-\sin{x}}\) |
Limita je typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(x^3)^{\prime}}{(x-\sin{x})^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{3x^2}{1-\cos{x}}\) |
|
Limita je opět typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(3x^2)^{\prime}}{(1-\cos{x})^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{6x}{\sin{x}}\) |
|
Limita je opět typu \(\frac{0}{0}\). \(L = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(6x)^{\prime}}{(\sin{x})^{\prime}}\) \(\;=\;\)\(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{6}{\cos{x}}\) \(\;=\;\)\(6\) |
