\begin{align}
\end{align}
Důkazy pravidel derivování II
V této podkapilole dokážeme pravidla pro derivování následujících elementárních funkcí:
- y = \sin{x};
- y = \cos{x};
- y = a^x, kde a \in \mathbb R^{+}.
Pro funkci f : y = \sin{x}, x \in \mathbb R, platí y^{\prime} = \cos{x}.
Důkaz
Při důkazu se využijí vztahy
\sin{\alpha} - \sin{\beta} \; = \; 2\cos{\Large\frac{\alpha+\beta}{2}} \sin{\Large\frac{\alpha-\beta}{2}}, \; \; {\Large\lim\limits_{x \to 0}}{\Large\frac{\sin{x}}{x}} \; = \; 1.
Víme, že
y^{\prime}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin{x}}{\Delta x}.
S použitím uvedených vztahů přepíšeme limitu na
\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \LARGE\frac{2 \cos{\frac{x+\Delta x + x}{2}} \sin{\frac{x+\Delta x - x}{2}} }{\Delta x} \normalsize \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \LARGE\frac{2 \cos(x+\frac{\Delta x}{2}) \sin{\frac{\Delta x}{2}} }{\Delta x} \normalsize \; =
= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \normalsize [ \cos(x + {\Large\frac{\Delta x}{2}})\LARGE\frac{\sin{\frac{\Delta x}{2}} }{\frac{\Delta x}{2}}\normalsize] \; = \; [\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \normalsize \cos(x + {\Large\frac{\Delta x}{2}}) \normalsize ] \cdot [\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \LARGE\frac{\sin{\frac{\Delta x}{2}} }{\frac{\Delta x}{2}}\normalsize ] \; =
= \; \cos(x)\cdot 1 \; = \; \cos{x}
Poznámka k hodnotě limity {\Large\lim\limits_{x \to 0}}{\Large\frac{\sin{x}}{x}}. 
To, že má tato limita hodnotu jedna, nelze středoškolskými matematickými prostředky dokázat. Na následujícím obrázku jsou zobrazeny grafy funkcí y = \sin{x} (černý) a y = x (červený). Na obrázku pod ním je zobrazen graf funkce y = \Large\frac{\sin{x}}{x}, z něhož je patrná hodnota limity v bodě x = 0.
Pro funkci f : y = \cos{x}, x \in \mathbb R, platí y^{\prime} = -\sin{x}.
Důkaz
Při důkazu se využijí vztahy
\cos{\alpha} - \cos{\beta} \; = \; -2\sin{{\Large\frac{\alpha+\beta}{2}}} \sin{{\Large\frac{\alpha-\beta}{2}}}, \; \; {\Large\lim\limits_{x \to 0}}{\Large\frac{\sin{x}}{x}} \; = \; 1.
Víme, že
y^{\prime}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x+\Delta x) - \cos{x}}{\Delta x}.
S použitím uvedených vztahů přepíšeme limitu na
\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \LARGE\frac{-2 \sin{\frac{x+\Delta x + x}{2}} \sin{\frac{x+\Delta x - x}{2}} }{\Delta x} \normalsize \; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \LARGE\frac{-2 \sin(x+\frac{\Delta x}{2}) \sin{\frac{\Delta x}{2}} }{\Delta x} \normalsize \; =
= \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \normalsize [ -\sin(x + {\Large\frac{\Delta x}{2}})\LARGE\frac{\sin{\frac{\Delta x}{2}} }{\frac{\Delta x}{2}}\normalsize] \; = \; [\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \normalsize -\sin(x + {\Large\frac{\Delta x}{2}})] \cdot [\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \LARGE\frac{\sin{\frac{\Delta x}{2}} }{\frac{\Delta x}{2}}\normalsize] \; =
= \; -\sin(x) \cdot 1 \; = \; -\sin{x}
Poznámka k hodnotě limity {\Large\lim\limits_{x \to 0}}{\Large\frac{\sin{x}}{x}} je uvedena u důkazu derivace funkce sinus.
Jestliže existují u^{\prime}(v(x)) a v^{\prime}(x), pak: [u(v(x))]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(v(x))\cdot v^{\prime}(x).
Bez důkazu
Důkaz svou náročností přesahuje možnosti tohoto webu. Lze ho najít v Jarníkovi [2] na stránkách 217 až 219.
Pro funkci f : y = a^x, x \in \mathbb R, a \in \mathbb R^{+}, platí y^{\prime} = a^x\ln{a}.
Poznámka: Všimněte si, že když se základ a rovná Eulerovu číslu e, tak \ln{a} = \ln{e} = 1. Derivace pak odpovídá derivaci funkce y = e^x.
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci složené funkce a vztah
a^x \; = \; (e^{\ln{a}})^x \; = \; e^{x\ln{a}}.
Víme, že
y^{\prime} \; = \; (a^x)^{\prime} \; = \; (e^{x\ln{a}})^{\prime} \; = \; [u(v(x))]^{\prime},
kde u(x) = e^x a v(x) = x\ln{a}. Platí, že u^{\prime}(x) = u(x).
Využijeme pravidlo pro derivaci složené funkce a dostaneme
u^{\prime}(v(x))\cdot v^{\prime}(x) \; = \; u(v(x))\cdot (x\ln{a})^{\prime} \; = \; e^{x\ln{a}}\cdot \ln{a} \; = \; a^x\ln{a}
