Příklad 10: Vzdálenost pevného bodu a bodu na křivce
V rovině je dán bod \(A[4,0]\) a graf funkce \(\; y = \sqrt{2x}\). Na grafu funkce se nachází bod \(M\).
Určete souřadnice bodu \(M\) tak, aby délka úsečky \(AM\) byla minimální, a délku této úsečky.
Pomůcka pro řešení: Vzdálenost \(|AM|\) je minimální, pravě když \(|AM|^2\) je minimální.
Řešení
Z předpisu funkce pro bod \(M\) plyne, že \(\; M = \left[x,\sqrt{2x}\right].\)
1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).
Minimalizujeme délku úsečky \(AM\). Abychom se vyhnuli počítání s odmocninami, budeme minimalizovat její druhou mocninu. Označme tuto proměnnou písmenem \(d\).
\(d = |AM|^2 = (x-4)^2+(\sqrt{2x})^2 = x^2 - 6x + 16\;\;\) pro \(\;\; x \geq 0.\)
2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.
Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná \(d\) závisí pouze na proměnné \(x.\)
3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné \(x\), na níž závisí proměnná \(d\), jejíž extrém hledáme.
Funkce \(y = \sqrt{2x}\) má definiční obor \(\langle 0, +\infty )\). Jiná podmínka zde není. Tedy definiční obor proměnné \(x\) je
\(x \in \langle 0, +\infty )\).
4. Nyní přepíšeme vztah \(d = x^2 - 6x + 16\) pro \(x \in \langle 0, +\infty )\) do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné \(d\) napíšeme \(f(x)\). Z definičního oboru proměnné \(x\) stanovíme definiční obor funkce \(f.\)
\(f(x) = x^2 - 6x + 16\) s definičním oborem \(D(f) = \langle 0, +\infty ).\)
5. Najdeme hledaný extrém.
Hledáme globální minimum. Platí, že \(f^{\prime}(x) = 2x - 6.\)
Vzhledem k tomu, že funkce \(f\) má definovanou derivaci na celém intervalu \(( 0, +\infty )\), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce \(f\) a levý krajní bod intervalu \(\langle 0, +\infty )\), tj. \(x = 0\).
Stacionární body splňuji rovnici \(2x - 6 = 0\). Řešením z definičního oboru funkce \(f\) je
\(x = 3.\)
Ověříme, zda má funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = 3\) globální minimum.
Funkce \(f\) je na intervalu \(\langle 0, +\infty )\) spojitá. Její derivace je na intervalu \(( 0, +\infty )\) všude definovaná. Navíc tam má funkce \(f\) jediný stacionární bod \(x = 2\).
K stanovení průběhu funkce \(f\) použijeme tabulkovou metodu z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Lokální extrémy tabulkovou metodou.
| \(0\) | \((0,3)\) | \(3\) | \((3, +\infty)\) |
|---|---|---|---|
| M |
\(f^{\prime}(2) = -2 \lt 0\) klesající |
m |
\(f^{\prime}(4) = 2 \gt 0\) rostoucí |
Z průběhu funkce \(f\) je zřejmé, že lokální minimum v bodě \(x = 3\) je i globálním minimem.
Poznámka: Hledání globálního minima bez využití derivací. 
6. Zapíšeme řešení.
Bod \(M\) bude bodu \(A\) nejblíže, jsou-li jeho souřadnice \(\left[3,\sqrt{6}\right].\)
Jejich vzdálenost bude činit \(\sqrt{f(3)} = \sqrt{7} \doteq 2{,}65.\)
Odkazy na příklady
