Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSmath.js

Tisková verze
\begin{align} \end{align}

Příklad 10: Vzdálenost pevného bodu a bodu na křivce

V rovině je dán bod A[4,0] a graf funkce \; y = \sqrt{2x}. Na grafu funkce se nachází bod M.

Určete souřadnice bodu M tak, aby délka úsečky AM byla minimální, a délku této úsečky.

Pomůcka pro řešení: Vzdálenost |AM| je minimální, pravě když |AM|^2 je minimální.

 
 

Řešení

Z předpisu funkce pro bod M plyne, že \; M = \left[x,\sqrt{2x}\right].

 

1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).

Minimalizujeme délku úsečky AM. Abychom se vyhnuli počítání s odmocninami, budeme minimalizovat její druhou mocninu. Označme tuto proměnnou písmenem d.

d = |AM|^2 = (x-4)^2+(\sqrt{2x})^2 = x^2 - 6x + 16\;\; pro \;\; x \geq 0.

 

2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.

Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná d závisí pouze na proměnné x.

 

3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné x, na níž závisí proměnná d, jejíž extrém hledáme.

Funkce y = \sqrt{2x} má definiční obor \langle 0, +\infty ). Jiná podmínka zde není. Tedy definiční obor proměnné x je

x \in \langle 0, +\infty ).

 

4. Nyní přepíšeme vztah d = x^2 - 6x + 16 pro x \in \langle 0, +\infty ) do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné d napíšeme f(x). Z definičního oboru proměnné x stanovíme definiční obor funkce f.

f(x) = x^2 - 6x + 16 s definičním oborem D(f) = \langle 0, +\infty ).

 

5. Najdeme hledaný extrém.

Hledáme globální minimum. Platí, že f^{\prime}(x) = 2x - 6.

Vzhledem k tomu, že funkce f má definovanou derivaci na celém intervalu ( 0, +\infty ), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce f a levý krajní bod intervalu \langle 0, +\infty ), tj. x = 0.

Stacionární body splňuji rovnici 2x - 6 = 0. Řešením z definičního oboru funkce f je

x = 3.

Ověříme, zda má funkce f ve stacionárním bodě x = 3 globální minimum.

Funkce f je na intervalu \langle 0, +\infty ) spojitá. Její derivace je na intervalu ( 0, +\infty ) všude definovaná. Navíc tam má funkce f jediný stacionární bod x = 2.

K stanovení průběhu funkce f použijeme tabulkovou metodu z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Lokální extrémy tabulkovou metodou.

 
0 (0,3) 3 (3, +\infty)
 
M
f^{\prime}(2) = -2 \lt 0
klesající
 
m
f^{\prime}(4) = 2 \gt 0
rostoucí
 

Z průběhu funkce f je zřejmé, že lokální minimum v bodě x = 3 je i globálním minimem.

 

Poznámka: Hledání globálního minima bez využití derivací. Zobrazit

 

6. Zapíšeme řešení.

Bod M bude bodu A nejblíže, jsou-li jeho souřadnice \left[3,\sqrt{6}\right].

Jejich vzdálenost bude činit \sqrt{f(3)} = \sqrt{7} \doteq 2{,}65.

 

Odkazy na příklady

 
  Př. 1: Cesta na staveniště   Př. 6: Trojúhelník pod parabolou
  Př. 2: Oplocení   Př. 7: Vitráž
  Př. 3: Rovnoběžník vepsaný do obdélníku   Př. 8: Vzdálenost dvou bodů na dvou křivkách
  Př. 4: Rovnoramenný trojúhelník   Př. 9: Vzdálenost dvou pohybujících se osob
  Př. 5: Stavba bazénu * Př. 10: Vzdálenost pevného bodu a bodu na křivce