Příklad 10: Vzdálenost pevného bodu a bodu na křivce
V rovině je dán bod A[4,0] a graf funkce \; y = \sqrt{2x}. Na grafu funkce se nachází bod M.
Určete souřadnice bodu M tak, aby délka úsečky AM byla minimální, a délku této úsečky.
Pomůcka pro řešení: Vzdálenost |AM| je minimální, pravě když |AM|^2 je minimální.
Řešení
Z předpisu funkce pro bod M plyne, že \; M = \left[x,\sqrt{2x}\right].
1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).
Minimalizujeme délku úsečky AM. Abychom se vyhnuli počítání s odmocninami, budeme minimalizovat její druhou mocninu. Označme tuto proměnnou písmenem d.
d = |AM|^2 = (x-4)^2+(\sqrt{2x})^2 = x^2 - 6x + 16\;\; pro \;\; x \geq 0.
2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.
Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná d závisí pouze na proměnné x.
3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné x, na níž závisí proměnná d, jejíž extrém hledáme.
Funkce y = \sqrt{2x} má definiční obor \langle 0, +\infty ). Jiná podmínka zde není. Tedy definiční obor proměnné x je
x \in \langle 0, +\infty ).
4. Nyní přepíšeme vztah d = x^2 - 6x + 16 pro x \in \langle 0, +\infty ) do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné d napíšeme f(x). Z definičního oboru proměnné x stanovíme definiční obor funkce f.
f(x) = x^2 - 6x + 16 s definičním oborem D(f) = \langle 0, +\infty ).
5. Najdeme hledaný extrém.
Hledáme globální minimum. Platí, že f^{\prime}(x) = 2x - 6.
Vzhledem k tomu, že funkce f má definovanou derivaci na celém intervalu ( 0, +\infty ), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce f a levý krajní bod intervalu \langle 0, +\infty ), tj. x = 0.
Stacionární body splňuji rovnici 2x - 6 = 0. Řešením z definičního oboru funkce f je
x = 3.
Ověříme, zda má funkce f ve stacionárním bodě x = 3 globální minimum.
Funkce f je na intervalu \langle 0, +\infty ) spojitá. Její derivace je na intervalu ( 0, +\infty ) všude definovaná. Navíc tam má funkce f jediný stacionární bod x = 2.
K stanovení průběhu funkce f použijeme tabulkovou metodu z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Lokální extrémy tabulkovou metodou.
| 0 | (0,3) | 3 | (3, +\infty) |
|---|---|---|---|
| M |
f^{\prime}(2) = -2 \lt 0 klesající |
m |
f^{\prime}(4) = 2 \gt 0 rostoucí |
Z průběhu funkce f je zřejmé, že lokální minimum v bodě x = 3 je i globálním minimem.
Poznámka: Hledání globálního minima bez využití derivací. 
6. Zapíšeme řešení.
Bod M bude bodu A nejblíže, jsou-li jeho souřadnice \left[3,\sqrt{6}\right].
Jejich vzdálenost bude činit \sqrt{f(3)} = \sqrt{7} \doteq 2{,}65.
Odkazy na příklady
