\begin{align}
\end{align}
Příklady a úlohy
K pohodlnému porozumění řešení uvedených příkladů a úloh si vytiskněte tiskovou verzi pravidel derivování, která je k dispozici >zde<.
Na využití pravidla pro výpočet derivace pomocí derivace inverzní funkce a na cyklometrické funkce nejsou uvedeny žádné příklady a úlohy. Zájemcům o aplikaci pravidla pro výpočet derivace pomocí derivace inverzní funkce doporučuji se podívat na důkazy derivací cyklometrických funkcí v podkapitole Důkazy pravidel derivování V.
Pravidla pro derivování funkcí au, u + v, u - v
Příklad 1
Vypočítejte derivaci funkce \(y = 3x^7-\Large\frac{2x^2-1}{4}\).
Řešení
\(y^{\prime} \; = \; \Large ( \normalsize 3x^7-{\Large\frac{2x^2-1}{4})^{\prime}} \; = \; (3x^7)^{\prime}-{\Large (\frac{2x^2-1}{4})^{\prime}} \; =\)
\(= \; 3(x^7)^{\prime}-{\Large ( \frac{1}{4}}\cdot (2x^2-1) {\Large )^{\prime}} \; = \; 3\cdot 7x^6-{\Large\frac{1}{4}}\cdot (2x^2-1)^{\prime} \; =\)
\(= 21 x^6-{\Large\frac{1}{4}} (2(x^2)^{\prime}-(1)^{\prime}) \; = \; 21 x^6-{\Large\frac{1}{4}} (2\cdot 2x-0) \; = 21x^6-x\)
Úloha 1
Vypočítejte derivaci funkce \(y = e^x-x+2\).
\(y^{\prime}= (e^x-x+2)^{\prime}=\)\(\; (e^x)^{\prime}-(x)^{\prime}+(2)^{\prime} =\)\(\; e^x-1+0 = e^x-1\)
Úloha 2
Vypočítejte derivaci funkce \(y = 2e^x+{\Large\frac{x^3}{3}}-2x^2-3\pi\).
\(y^{\prime}= (2e^x+{\Large\frac{x^3}{3}}-2x^2-3\pi)^{\prime}=\)\(\; (2e^x)^{\prime}+({\Large\frac{x^3}{3}})^{\prime}-(2x^2)^{\prime}-(3\pi)^{\prime} =\)
\(= 2(e^x)^{\prime}+{\Large\frac{(x^3)^{\prime}}{3}}-2(x^2)^{\prime}-(3\pi)^{\prime} =\)\(\; 2e^x+{\Large\frac{3x^2}{3}}-2\cdot 2x-0 =\)\(\; 2e^x+x^2-4x\)
Úloha 3
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \pi x^4-{\Large\frac{x^2+2x}{2}}\).
\(y^{\prime} = {\Large (}\pi x^4-{\Large\frac{x^2+2x}{2})^{\prime}}=\)\(\; (\pi x^4)^{\prime}-{\Large ( \frac{x^2+2x}{2} )^{\prime}} =\)\(\; \pi (x^4)^{\prime}-{\Large\frac{(x^2+2x)^{\prime}}{2}} =\)
\(= \pi (x^4)^{\prime}-{\Large\frac{(x^2)^{\prime}+(2x)^{\prime}}{2}} =\)\(\; \pi\cdot 4 x^3-{\Large\frac{2x+2}{2}} =\)\(\; 4\pi x^3-x-1\)
Pravidlo pro derivování součinu funkcí u∙v
Příklad 2
Vypočítejte derivaci funkce \(y = 3xe^x+x^2-1\).
Řešení
\(y^{\prime} \; = \; (3xe^x+x^2-1)^{\prime} \; = \; 3(xe^x)^{\prime}+(x^2)^{\prime}-(1)^{\prime} \; = \; 3[x(e^x)^{\prime}+(x)^{\prime}e^x] \; +\)
\(+ \; 2x-0 \; = \; 3[xe^x+1\cdot e^x] + 2x \; = \; 3e^x(x+1)+2x\)
Úloha 4
Vypočítejte derivaci funkce \(y = (x^2-1)e^x\).
\(y^{\prime}= [(x^2-1)e^x]^{\prime}=\)\(\; (x^2-1)^{\prime}e^x+(x^2-1)(e^x)^{\prime} =\)\(\; [(x^2)^{\prime}-(1)^{\prime}]e^x \; +\)
\(+\; (x^2-1)e^x =\)\(\; [2x-0]e^x+(x^2-1)e^x =\)\(\; 2xe^x+(x^2-1)e^x =\)
\(= (x^2+2x-1)e^x\)
Úloha 5
Vypočítejte derivaci funkce \(y = -x^2e^x+2xe^x\).
\(y^{\prime}= [(-x^2+2x)e^x]^{\prime}=\)\(\; (-x^2+2x)^{\prime}e^x+(-x^2+2x)(e^x)^{\prime} =\)
\(= [-(x^2)^{\prime}+2(x)^{\prime}]e^x + (-x^2+2x)e^x =\)\(\; (-2x+2)e^x+(-x^2+2x)e^x =\)
\(= (-x^2+2)e^x\)
Úloha 6
Vypočítejte derivaci funkce \(y = e^{2x}\).
Nápověda: \(e^{2x}= e^x\cdot e^x\).
\(y^{\prime}= (e^x\cdot e^x)^{\prime}=\)\(\; (e^x)^{\prime}e^x+e^x(e^x)^{\prime} =\)\(\; e^x\cdot e^x + e^x\cdot e^x =\)\(\; 2e^x\cdot e^x =\)\(\; 2e^{2x}\)
Derivace funkce sinus, kosinus a exponenciální funkce o obecném základu
Příklad 3
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \sin{x}\cos{x}\).
Řešení
\(y^{\prime} \; = \; (\sin{x}\cos{x})^{\prime} \; = \; (\sin{x})^{\prime}\cos{x}+\sin{x}(\cos{x})^{\prime} \; = \; \cos{x}\cos{x} \; +\)
\(+ \; \sin{x}(-\sin{x}) \; = \; \cos^2{x} - \sin^2{x} \; = \; \cos{2x}\)
Příklad 4
Vypočítejte derivaci funkce \(y = e^x(\sin{x}+\cos{x})\).
Řešení
\(y^{\prime} \; = \; [e^x(\sin{x}+\cos{x})]^{\prime} \; = \; (e^x)^{\prime}(\sin{x}+\cos{x}) + e^x(\sin{x}+\cos{x})^{\prime} \; =\)
\(= \; e^x(\sin{x}+\cos{x}) + e^x[(\sin{x})^{\prime}+(\cos{x})^{\prime}] \; =\)
\(= \; e^x(\sin{x}+\cos{x}) + e^x(\cos{x}-\sin{x}) \; = \; 2e^x\cos{x}\)
Úloha 7
Vypočítejte derivaci funkce \(y = 3\cos{x}-4\sin{x}+3^x\).
\(y^{\prime}= (3\cos{x}-4\sin{x}+3^x)^{\prime}=\)\(\; 3(\cos{x})^{\prime}-4(\sin{x})^{\prime}+(3^x)^{\prime} =\)
\(= 3(-\sin{x}) -4\cos{x}+3^x\ln{3} =\)\(\; -3\sin{x} -4\cos{x}+3^x\ln{3}\)
Úloha 8
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \sin^2{x}\).
Nápověda: \(\sin^2{x} = \sin{x} \cdot \sin{x}\).
\(y^{\prime}= (\sin{x} \cdot \sin{x})^{\prime}=\)\(\; (\sin{x})^{\prime}\sin{x}+\sin{x}(\sin{x})^{\prime} =\)\(\; 2\sin{x}(\sin{x})^{\prime} =\)
\(= 2\sin{x}\cos{x} =\)\(\; \sin{2x}\)
Úloha 9
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \cos^2{x}\).
Nápověda: \(\cos^2{x} = \cos{x} \cdot \cos{x}\).
\(y^{\prime}= (\cos{x} \cdot \cos{x})^{\prime}=\)\(\; (\cos{x})^{\prime}\cos{x}+\cos{x}(\cos{x})^{\prime} =\)\(\; 2(\cos{x})^{\prime}\cos{x} =\)
\(= 2(-\sin{x})\cos{x} =\)\(\; -2\sin{x}\cos{x} =\)\(\; -\sin{2x}\)
Úloha 10
Vypočítejte derivaci funkce \(y = 2^x \cdot 3^x\).
Počítejte nejprve jako derivaci součinu a pak přímo s využitím vztahu \(2^x \cdot 3^x = 6^x\).
\(y^{\prime}= (2^x \cdot 3^x)^{\prime}=\)\(\; (2^x)^{\prime}3^x+2^x(3^x)^{\prime} =\)\(\; 2^x(\ln{2})3^x+2^x3^x(\ln{3}) =\)
\(= 2^x3^x(\ln{2}+\ln{3}) =\)\(\; 2^x3^x\ln(2\cdot 3) =\)\(\; 6^x\ln{6}\)
\(y^{\prime}= (2^x \cdot 3^x)^{\prime}=\)\(\; (6^x)^{\prime} =\)\(\; 6^x\ln{6}\)
Složená funkce
Co je to složená funkce? Tento pojem si zjednodušeně vysvětlíme pomocí následujících dvou ilustrací.
Ilustrace 1: Jestliže \(u(x)=x^5\) a \(v(x)=x^2+1\), pak \(u(v(x))=[v(x)]^5=(x^2+1)^5\) je složená funkce. Pátá mocnina se v ní počítá jako poslední, proto je \(u\) vnější funkce a \(v\) je vnitřní funkce.
Ilustrace 2: Jestliže \(u(x)=\sqrt[4]{x}\) a \(v(x)=\cos{x}\), pak \(u(v(x))=\sqrt[4]{v(x)}=\sqrt[4]{\cos{x}}\) je opět složená funkce. Čtvrtá odmocnina se v ní počítá jako poslední, proto je \(u\) vnější funkce a \(v\) je vnitřní funkce.
K rozeznání toho, co je vnější funkce u složené funkce, si položte otázku, co se vypočítává naposledy.
V následujícím příkladě a úlohách budeme rozkládat složené funkce na vnější a vnitřní funkce. Možná si všimnete, že tento rozklad není vždy jednoznačný. Vždy budeme usilovat o to, aby vnější funkce byla některou z funkcí uvedených v pravidlech derivování, to jsou elementární funkce, nebo aby to byla taková funkce násobená konstantou.
Příklad 5
Rozložte funkci \(f(x) = \sqrt{x^3+2}\) na vnější funkci \(u(x)\) a vnitřní funkci \(v(x)\) tak, aby při jejich složení platilo \(f(x) = u(v(x))\).
Řešení
\(u(x) = \sqrt{x} \;\) a \(\; v(x) = x^3+2\).
Vnější funkce \(u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) je elementární funkce. Je to mocninná funkce s exponentem jedna polovina.
Úloha 11
Rozložte funkci \(f(x) = \sin^3{x}\) na vnější funkci \(u(x)\) a vnitřní funkci \(v(x)\) tak, aby při jejich složení platilo \(f(x) = u(v(x))\).
\(u(x) = x^3 \;\) a \(\; v(x) = \sin{x}\).
Vnější funkce \(u(x) = x^3\) je elementární funkce. Je to mocninná funkce s exponentem tři.
Úloha 12
Rozložte funkci \(f(x) = \Large\frac{2}{x^2+3\cos{x}}\) na vnější funkci \(u(x)\) a vnitřní funkci \(v(x)\) tak, aby při jejich složení platilo \(f(x) = u(v(x))\).
\(u(x) = \Large\frac{2}{x} \;\) a \(\; v(x) = x^2+3\cos{x}\).
Vnější funkce \(u(x) = \Large\frac{2}{x}\normalsize = 2x^{-1}\) je elementární funkce násobená konstantou. Je to mocninná funkce s exponentem mínus jedna.
Úloha 13
Rozložte funkci \(f(x) = -\pi\cos(3+e^x)\) na vnější funkci \(u(x)\) a vnitřní funkci \(v(x)\) tak, aby při jejich složení platilo \(f(x) = u(v(x))\).
\(u(x) = -\pi\cos{x} \;\) a \(\; v(x) = 3+e^x\).
Vnější funkce \(u(x) = -\pi\cos{x}\) je elementární funkce násobená konstantou. Je to funkce kosinus.
Pravidlo pro derivování složené funkce u ○ v
Zápis \((u\circ v)(x)\) je jiným zápisem pro \(u(v(x))\).
Návod k derivování:
Při derivování složené funkce postupujeme od vnější funkce k vnitřní. Vnější funkce by měla být elementární funkce nebo elementární funkce násobená konstantou. Když derivujeme vnější funkci, necháváme to, co je uvnitř, beze změny. Pak násobíme derivaci vnější funkce, u které se nechá nezměněný vnitřek, derivací toho, co je uvnitř ní. Pokud je vnitřek opět složená funkce, pak při jeho derivaci na něj znovu aplikujeme pravidlo pro derivaci složené funkce. V úloze 17 je zadána k derivování jedna taková složitější funkce.
Příklad 6
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \sin(x^2+\Large\frac{\pi}{2}\normalsize)\).
Řešení
Vnější funkce je \(u(x) = \sin{x}\). Vnitřní funkce je \(v(x) = x^2+\Large\frac{\pi}{2}\).
\(y^{\prime} \; = \; [\sin(x^2+\Large\frac{\pi}{2}\normalsize)]^{\prime} \; = \; \sin^{\prime}(x^2+\Large\frac{\pi}{2}\normalsize)\cdot (x^2+\Large\frac{\pi}{2}\normalsize)^{\prime} \; = \; \cos(x^2+\Large\frac{\pi}{2}\normalsize)\cdot 2x \; =\)
\(= \; 2x\cos(x^2+\Large\frac{\pi}{2}\normalsize) \; = \; -2x\sin(x^2)\)
Příklad 7
Vypočítejte derivaci funkce \(y = (x^3-x)^5\).
Řešení
Vnější funkce je \(u(x) = x^5\). Vnitřní funkce je \(v(x) = x^3-x\).
\(y^{\prime} \; = \; [(x^3-x)^5]^{\prime} \; = \; 5(x^3-x)^4 \cdot (x^3-x)^{\prime} \; = \; 5(x^3-x)^4 (3x^2-1)\)
Příklad 8
Vypočítejte derivaci funkce \(y = 3^{\cos{x}}\).
Řešení
Vnější funkce je \(u(x) = 3^x\). Vnitřní funkce je \(v(x) = \cos{x}\).
\(y^{\prime} \; = \; [3^{\cos{x}}]^{\prime} \; = \; 3^{\cos{x}}(\ln{3})\cdot (\cos{x})^{\prime} \; = \; 3^{\cos{x}}(\ln{3}) \cdot (-\sin{x}) \; =\)
\(= \; -(\ln{3})\cdot \sin{x} \cdot 3^{\cos{x}}\)
Úloha 14
Vypočítejte derivaci funkce \(y = e^{3x}\) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce.
Vnější funkce je \(u(x) = e^x\). Vnitřní funkce je \(v(x) = 3x\).
\(y^{\prime}= (e^{3x})^{\prime}=\)\(\; e^{3x}\cdot (3x)^{\prime} =\)\(\; e^{3x}\cdot 3 =\)\(\; 3e^{3x}\)
Úloha 15
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \sin{e^x}\).
Vnější funkce je \(u(x) = \sin{x}\). Vnitřní funkce je \(v(x) = e^x\).
\(y^{\prime}= (\sin{e^x})^{\prime}=\)\(\; \sin^{\prime}(e^x)\cdot (e^x)^{\prime} =\)\(\; (\cos{e^x})\cdot e^x =\)\(\; e^x\cos{e^x}\)
Úloha 16
Vypočítejte derivaci funkce \(y = (x^2+2x-1)^7\).
Vnější funkce je \(u(x) = x^7\). Vnitřní funkce je \(v(x) = x^2+2x-1\).
\(y^{\prime}= [(x^2+2x-1)^7]^{\prime}=\)\(\; 7(x^2+2x-1)^6 \cdot (x^2+2x-1)^{\prime} =\)
\(= 7(x^2+2x-1)^6 (2x+2) =\)\(\; 14(x^2+2x-1)^6 (x+1)\)
Úloha 17
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \sin^2(x^3-4x)\).
Pomůcka: \(2\sin{\alpha}\cos{\alpha} = \sin{2\alpha}\)
Vnější funkce je \(u(x) = x^2\). Vnitřní funkce je \(v(x) = \sin(x^3-4x)\).
\(y^{\prime}= [\sin^2(x^3-4x)]^{\prime}=\)\(\; 2\sin(x^3-4x) \cdot \sin^{\prime}(x^3-4x) = (*)\)
\(\sin^{\prime}(...)\) je opět složená funkce. Vnější funkce je \(w_1(x) = \sin{x}\). Vnitřní funkce je \(w_2(x) = x^3-4x\).
\((*) = 2\sin(x^3-4x) \cdot \cos(x^3-4x) \cdot (x^3-4x)^{\prime} =\)
\(= \sin [2(x^3-4x)] \cdot (3x^2-4) =\)\(\; (3x^2-4)\sin [2(x^3-4x)]\)
Pravidlo pro derivování „převrácené“ funkce a podílu dvou funkcí
Příklad 9
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \Large\frac{-2}{x^3-x}\).
Řešení
\(y^{\prime} \; = \; \Large[\frac{-2}{x^3-x}]^{\prime}\normalsize \; = \; {-2}\Large[\frac{1}{x^3-x}]^{\prime}\normalsize = \; {-2}\Large\frac{-(x^3-x)^{\prime}}{(x^3-x)^2}\normalsize \; = \; \Large\frac{2(3x^2-1)}{(x^3-x)^2}\)
Příklad 10
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \Large\frac{-3x+1}{x^2+2}\).
Řešení
\(y^{\prime} \; = \; \Large[\frac{-3x+1}{x^2+2}]^{\prime}\normalsize \; = \; \Large\frac{(-3x+1)^{\prime}(x^2+2)-(-3x+1)(x^2+2)^{\prime}}{(x^2+2)^2}\normalsize =\)
\(= \; \Large\frac{-3(x^2+2)-(-3x+1)2x}{(x^2+2)^2}\normalsize \; = \; \Large\frac{-3x^2-6-2x(-3x+1)}{(x^2+2)^2}\normalsize \; =\)
\(= \; \Large\frac{-3x^2-6+6x^2-2x}{(x^2+2)^2}\normalsize \; = \; \Large\frac{3x^2-2x-6}{(x^2+2)^2}\)
Úloha 18
Vypočítejte derivaci funkce \(y = x + \Large\frac{1}{2x^2}\).
\(y^{\prime}= [x + \Large\frac{1}{2x^2}\normalsize]^{\prime}=\)\(\; (x)^{\prime}+\Large\frac{1}{2}\normalsize (x^{-2})^{\prime} =\)\(\; 1+\Large\frac{1}{2}\normalsize (-2)x^{-3} =\)\(\; 1-\Large\frac{1}{x^3}\)
Úloha 19
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \Large\frac{3x+1}{x^2-2}\).
\(y^{\prime}= \Large[\frac{3x+1}{x^2-2}]^{\prime}\normalsize =\)\(\; \Large\frac{(3x+1)^{\prime}(x^2-2)-(3x+1)(x^2-2)^{\prime}}{(x^2-2)^2}\normalsize =\)
\(= \Large\frac{3(x^2-2)-(3x+1)2x}{(x^2-2)^2}\normalsize =\)\(\; \Large\frac{3x^2-6-2x(3x+1)}{(x^2-2)^2}\normalsize \; =\)
\(= \Large\frac{3x^2-6-6x^2-2x}{(x^2-2)^2}\normalsize =\)\(\; \Large\frac{-3x^2-2x-6}{(x^2-2)^2}\)
Derivace funkcí tangens a kotangens
Úloha 20
Vypočítejte derivaci funkce \(y = {\rm tg}\:x - {\rm cotg}\:x\).
\(y^{\prime}= ({\rm tg}\:x - {\rm cotg}\:x)^{\prime} =\)\(\; ({\rm tg}\:x)^{\prime} - ({\rm cotg}\:x)^{\prime} =\)\(\; \Large\frac{1}{\cos^2{x}}\normalsize - (-\Large\frac{1}{\sin^2{x}})\normalsize =\)
\(= \Large\frac{1}{\cos^2{x}}\normalsize + \Large\frac{1}{\sin^2{x}}\normalsize =\)\(\; \Large\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin^2{x}\cdot\cos^2{x}}\normalsize =\)\(\; \Large\frac{1}{\sin^2{x}\cdot\cos^2{x}}\normalsize=\)\(\; \Large\frac{4}{(2\sin{x}\cdot\cos{x})^2}=\)
\(= \Large\frac{4}{\sin^2{2x}}\)
Úloha 21
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \Large\frac{{\rm tg}\:x}{x}\).
\(y^{\prime}= \Large[\frac{{\rm tg}\:x}{x}]^{\prime}\normalsize =\)\(\; \Large\frac{({\rm tg}\:x)^{\prime}x-({\rm tg}\:x)(x)^{\prime}}{x^2}\normalsize =\)\(\; \Large\frac{(\cos^{-2}{x})\cdot x-({\rm tg}\:x)\cdot 1}{x^2}\normalsize =\)
\(= \Large\frac{1}{x\cos^2{x}}\normalsize-\Large\frac{{\rm tg}\:x}{x^2}\)
Derivace logaritmické funkce
Příklad 11
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \ln(1+e^x)\).
Řešení
\(y^{\prime} \; = \; [\ln(1+e^x)]^{\prime} \; = \; [\ln^{\prime}(1+e^x)]\cdot (1+e^x)^{\prime} \; = \; \Large\frac{1}{1+e^x}\normalsize\cdot e^x \; = \; \Large\frac{e^x}{1+e^x}\)
Příklad 12
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \log_2(2^x+2^{-x})\).
Řešení
\(y^{\prime} \; = \; [\log_2(2^x+2^{-x})]^{\prime} \; = \; [\log_2^{\prime}(2^x+2^{-x})]\cdot (2^x+2^{-x})^{\prime} \; =\)
\(= \; \Large\frac{1}{(2^x+2^{-x})\ln{2}}\normalsize\cdot ((2^x)^{\prime}+(2^{-x})^{\prime}) \; = \; \Large\frac{(2^x)^{\prime}+(2^{-x})^{\prime}}{(2^x+2^{-x})\ln{2}}\normalsize \; =\)
\(= \; \Large\frac{2^x\ln{2} \; + \; 2^{-x}\ln{2}\cdot(-x)^{\prime}}{(2^x+2^{-x})\ln{2}}\normalsize\; = \; \Large\frac{(2^x \; + \; 2^{-x}\cdot(-1))\ln{2}}{(2^x+2^{-x})\ln{2}}\normalsize\; = \; \Large\frac{2^x - 2^{-x}}{2^x+2^{-x}}\)
Úloha 22
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \ln^2{x}\).
\(y^{\prime}= (\ln^2{x})^{\prime}=\)\(\; 2(\ln{x})\cdot(\ln{x})^{\prime} =\)\(\; 2(\ln{x})\cdot\Large\frac{1}{x} \normalsize =\)\(\; \Large\frac{2\ln{x}}{x}\)
Úloha 23
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \log_2(1+2^x)\).
\(y^{\prime}= [\log_2(1+2^x)]^{\prime}=\)\(\; \Large\frac{1}{(1+2^x)\ln{2}} \normalsize \cdot (1+2^x)^{\prime}=\)\(\;\Large\frac{1}{(1+2^x)\ln{2}} \normalsize \cdot 2^x\ln{2} =\)
\(= \Large\frac{2^x}{1+2^x}\)
Úloha 24
Vypočítejte derivaci funkce \(y = \log_3(3^x+3^{-x})\).
\(y^{\prime} = [\log_3(3^x+3^{-x})]^{\prime} =\)\( \; [\log_3^{\prime}(3^x+3^{-x})]\cdot (3^x+3^{-x})^{\prime} =\)
\(= \Large\frac{1}{(3^x+3^{-x})\ln{3}}\normalsize\cdot ((3^x)^{\prime}+(3^{-x})^{\prime}) =\)\(\; \Large\frac{(3^x)^{\prime}+(3^{-x})^{\prime}}{(3^x+3^{-x})\ln{3}}\normalsize =\)
\(= \Large\frac{3^x\ln{3} \; + \; 3^{-x}\ln{3}\cdot(-x)^{\prime}}{(3^x+3^{-x})\ln{3}}\normalsize =\)\( \; \Large\frac{(3^x \; + \; 3^{-x}\cdot(-1))\ln{3}}{(3^x+3^{-x})\ln{3}}\normalsize =\)\(\; \Large\frac{3^x - 3^{-x}}{3^x+3^{-x}}\)
Derivace mocninné funkce s obecným exponentem
Příklad 13
Vypočítejte derivaci funkce \(\Large y = \sqrt[3]{x^2+2}\).
Řešení
\(\Large y^{\prime} \; = \; [\sqrt[3]{x^2+2}]^{\prime} \; = \; \Large[(x^2+2)^\frac{1}{3}]^{\prime} \; =\)
\(\Large = \; \frac{1}{3}(x^2+2)^{-\frac{2}{3}}\cdot (x^2+2)^{\prime} \; =\; \frac{1}{3}(x^2+2)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x \; =\)
\(\Large = \; \huge\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+2)^2}}\)
Úloha 25
Vypočítejte derivaci funkce \(\Large y = 4\sqrt[4]{2+\cos{x}}\).
\(\Large y^{\prime} = [4\sqrt[4]{2+\cos{x}}]^{\prime} =\)\(\Large \; 4[(2+\cos{x})^\frac{1}{4}]^{\prime} =\)
\(\Large = 4\cdot\frac{1}{4}(2+\cos{x})^{-\frac{3}{4}}\cdot (2+\cos{x})^{\prime} =\)
\(\Large = (2+\cos{x})^{-\frac{3}{4}}\cdot (-\sin{x}) =\)\(\Large \; -\huge\frac{\sin{x}}{\sqrt[4]{(2+\cos{x})^3}}\)
Úloha 26
Vypočítejte derivaci funkce \(\Large y = \sin(3+\sqrt{2x})\).
\(\Large y^{\prime} = [\sin(3+\sqrt{2x})]^{\prime} =\)\(\Large \; \sin^{\prime}(3+\sqrt{2x})\cdot [3+\sqrt{2x}]^{\prime} =\)
\(\Large = \cos(3+\sqrt{2x})\cdot [(2x)^\frac{1}{2}]^{\prime} =\)
\(\Large = \cos(3+\sqrt{2x})\cdot \frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}}\cdot (2x)^{\prime} =\)
\(\Large = \cos(3+\sqrt{2x})\cdot \frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2 =\)\(\Large \; \huge\frac{\cos(3+\sqrt{2x})}{\sqrt{2x}}\)
