Derivace jako funkce a druhá derivace
Aplet
V následujícím apletu se naučíte, jak si „představit“ derivaci funkce jako funkci. Připomeňme si, že \(f^{\prime}(x_0)\) je rovno směrnici tečny ke grafu funkce \(f\) vedené bodem \([x_0;f(x_0)]\).
V apletu je zobrazen graf jisté funkce \(f\). Můžete uchopit bod \(x_0\) na ose \(x\) a pohybovat jím. Zaškrtnutím políčka zobrazit bod \([x_0;f^{\prime}(x_0)]\) uvidíte zobrazenou hodnotu derivace této funkce odpovídající příslušné hodnotě \(x_0\) na ose \(x\). Pokud navíc zaškrtnete políčko zanechat stopu, začnou se vám vykreslovat body grafu derivace.
Definice derivace jako funkce
Nechť je dána funkce \(f\) s definičním oborem \(D(f)\). Nechť \(M\) je množina všech bodů \(x \in D(f)\), pro která existuje derivace funkce \(f\) v těchto bodech. Na této množině je pak definována funkce označovaná jako \(f^{\prime}\), která každému konkrétnímu \(x\) z množiny \(M\) přiřadí hodnotu \(f^{\prime}(x)\). Funkce \(f^{\prime}\) se nazývá derivace funkce \(f\) nebo také první derivace funkce \(f\). Uvedená množina \(M\) se značí jako \(D(f^{\prime})\) a nazývá se definiční obor derivace funkce \(f\). Vždy platí, že \(M \subset D(f)\).
Je-li následující limita vlastní, pak platí rovnost:
\(f^{\prime}(x) = \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\).
V uvedené limitě je z hlediska limitního procesu proměnnou \(\Delta x\), zatímco \(x\) má roli pevného bodu.
Ilustrace
Nechť je dána funkce \(f: y = |x|\) s definičním oborem \(D(f) = \langle -1, 1 \rangle\).
Krajní body intervalu \(\langle -1, 1 \rangle\) nepatří do \(D(f^{\prime})\). Aby mohla existovat vlastní limita, pomocí které se derivace v nějakém bodě \(x_0\) počítá, musí být nějaké (oboustranné) okolí tohoto bodu \(U(x_0)\) podmnožinou \(D(f)\). Tuto podmínku body \(x = -1\) a \(x = 1\) nesplňují.
Ani bod \(x = 0\) nepatří do \(D(f^{\prime})\). Jak jsme mohli vidět v podkapitole Derivace v bodě, v bodě \(x = 0\) sice existují jednostranné derivace funkce \(f\), ale tím, že každá z nich má jinou hodnotu, tak v bodě \(x_0\) neexistuje (oboustranná) derivace \(f^{\prime}(0)\).
Značení derivace
Nechť funkce \(f\) je zadána předpisem \(f: y =\; ...\)
Její derivace v bodě \(x\) se označuje některým z následujících zápisů:
| \(f^{\prime}(x)\) | \(\Large\frac{\rm df(x)}{\rm dx}\) | \(\Large\frac{\rm df}{\rm dx}\normalsize (x)\) | \(\Large\frac{\rm df}{\rm dx}\) | |
| \(y^{\prime}(x)\) | \(\Large\frac{\rm dy(x)}{\rm dx}\) | \(\Large\frac{\rm dy}{\rm dx}\normalsize (x)\) | \(\Large\frac{\rm dy}{\rm dx}\) | \(y^{\prime}\) |
Výrazy se zlomky nejsou obyčejné zlomky, nýbrž speciální symboly.
Druhá derivace
Funkci \(f^{\prime}\), která je derivací funkce \(f\), lze opět derivovat. Výsledkem je funkce označovaná jako \(f^{\prime\prime}\). Funkce \(f^{\prime\prime}\) se nazývá druhá derivace funkce \(f\).
Značení druhé derivace
Nechť funkce \(f\) je zadána předpisem \(f: y =\; ...\)
Její druhá derivace v bodě \(x\) se označuje některým z následujících zápisů:
| \(f^{\prime\prime}(x)\) | \(\Large\frac{\rm d^2f(x)}{\rm dx^2}\) | \(\Large\frac{\rm d^2f}{\rm dx^2}\normalsize (x)\) | \(\Large\frac{\rm d^2f}{\rm dx^2}\) | |
| \(y^{\prime\prime}(x)\) | \(\Large\frac{\rm d^2y(x)}{\rm dx^2}\) | \(\Large\frac{\rm d^2y}{\rm dx^2}\normalsize (x)\) | \(\Large\frac{\rm d^2y}{\rm dx^2}\) | \(y^{\prime\prime}\) |
Opět, výrazy se zlomky nejsou obyčejné zlomky, nýbrž speciální symboly.
Úloha 1
Úloha 2
