Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSmath.js
Tisková verze
\begin{align} \end{align}

Druhá derivace, příklad a úlohy

Zakrytá řešení v úlohách lze odkrýt kliknutím na začerněnou oblast.


Příklad 1

Vypočítejte první a druhou derivaci funkce f: y = 2x^2 - 3x + 1.

Vypočítejte hodnoty \; f(-2), \; f^{\prime}(-2), \; f^{\prime\prime}(-2).

Řešení

První derivace:  f^{\prime}(x) = 4x - 3.

Druhá derivace:  f^{\prime\prime}(x) = 4.

Hodnoty:  \; f(-2) = 15, \; f^{\prime}(-2) = -11, \; f^{\prime\prime}(-2) = 4.


Úloha 1

Vypočítejte první a druhou derivaci funkce f: y = \cos{x}+\sin{x}.

Vypočítejte hodnoty \; f({\Large\frac{\pi}{4}}), \; f^{\prime}({\Large\frac{\pi}{4}}), \; f^{\prime\prime}({\Large\frac{\pi}{4}}).

První derivace:  
f^{\prime}(x) = -\sin{x}+\cos{x}.

Druhá derivace:  
f^{\prime\prime}(x) = -\cos{x}-\sin{x}.

Hodnoty:  f({\Large\frac{\pi}{4}}) =
\sqrt{2}
, \; f^{\prime}({\Large\frac{\pi}{4}}) =
0
, \; f^{\prime\prime}({\Large\frac{\pi}{4}}) =
-\sqrt{2}
.


Úloha 2

Vypočítejte první a druhou derivaci funkce f: y = -2\cos{2x}-3\sin{2x}.

Vypočítejte hodnoty \; f(0), \; f^{\prime}(0), \; f^{\prime\prime}(0).

První derivace:  
f^{\prime}(x) = 4\sin{2x}-6\cos{2x} = 2(2\sin{2x}-3\cos{2x}).

Druhá derivace:  
f^{\prime\prime}(x) = 8\cos{2x}+12\sin{2x} = 4(2\cos{2x}+3\sin{2x}).

Hodnoty:  f(0) =
-2
, \; f^{\prime}(0) =
-6
, \; f^{\prime\prime}(0) =
8
.


Úloha 3

Vypočítejte první a druhou derivaci funkce f: y = x-4\sqrt{x}-{\Large\frac{1}{x}}.

Vypočítejte hodnoty \; f(1), \; f^{\prime}(1), \; f^{\prime\prime}(1).

První derivace:  
f^{\prime}(x) = 1-{\Large\frac{2}{\sqrt{x}}}+{\Large\frac{1}{x^2}}.

Druhá derivace:  
f^{\prime\prime}(x) = {\Large\frac{1}{\sqrt{x^3}}}-{\Large\frac{2}{x^3}}.

Hodnoty:  f(1) =
-4
, \; f^{\prime}(1) =
0
, \; f^{\prime\prime}(1) =
-1
.


Úloha 4

Vypočítejte první a druhou derivaci funkce f: y = {\Large\frac{(x^2-3)(x^2-1)}{x}}.

Vypočítejte hodnoty \; f(-1), \; f^{\prime}(-1), \; f^{\prime\prime}(-1).

Nápověda: Roznásobte čitatel, vydělte jmenovatelem a potom derivujte.

Upravená funkce:  
f(x) = x^3-4x+{\Large\frac{3}{x}}.

První derivace:  
f^{\prime}(x) = 3x^2-4-{\Large\frac{3}{x^2}}.

Druhá derivace:  
f^{\prime\prime}(x) = 6(x+{\Large\frac{1}{x^3}}).

Hodnoty:  f(-1) =
0
, \; f^{\prime}(-1) =
-4
, \; f^{\prime\prime}(-1) =
-12
.


Úloha 5

Vypočítejte první a druhou derivaci funkce f: y = {\Large\frac{x^2-x-3}{x-2}}.

Vypočítejte hodnoty \; f(3), \; f^{\prime}(3), \; f^{\prime\prime}(3).

Nápověda: Vydělte čitatel jmenovatelem a potom derivujte.

Upravená funkce:  
f(x) = x+1-{\Large\frac{1}{x-2}}.

První derivace:  
f^{\prime}(x) = 1+{\Large\frac{1}{(x-2)^2}}.

Druhá derivace:  
f^{\prime\prime}(x) = {\Large\frac{-2}{(x-2)^3}}.

Hodnoty:  f(3) =
3
, \; f^{\prime}(3) =
2
, \; f^{\prime\prime}(3) =
-2
.


Úloha 6

Vypočítejte první a druhou derivaci funkce f: y = 2e^x+5e^{-x}.

Vypočítejte hodnoty \; f(0), \; f^{\prime}(0), \; f^{\prime\prime}(0).

První derivace:  
f^{\prime}(x) = 2e^x-5e^{-x}.

Druhá derivace:  
f^{\prime\prime}(x) = 2e^x+5e^{-x}.

Hodnoty:  f(0) =
7
, \; f^{\prime}(0) =
-3
, \; f^{\prime\prime}(0) =
7
.


Úloha 7

Vypočítejte první a druhou derivaci funkce f: y = 1+x+{\Large\frac{x^2}{2!}}+{\Large\frac{x^3}{3!}}+{\Large\frac{x^4}{4!}}.

První derivace:  
f^{\prime}(x) = 1+x+{\Large\frac{x^2}{2!}}+{\Large\frac{x^3}{3!}}.

Druhá derivace:  
f^{\prime\prime}(x) = 1+x+{\Large\frac{x^2}{2!}}.