\begin{align}
\end{align}
Důkazy pravidel derivování V
V této podkapilole dokážeme pravidla pro derivování následujících elementárních funkcí:
- \(y = \arcsin{x}\);
- \(y = \arccos{x}\);
- \(y = {\rm arctg}\: x\);
- \(y = {\rm arccotg}\: x\).
Při důkazu derivací všech těchto funkcí se využívá pravidlo pro derivaci funkce pomocí derivace inverzní funkce.
Pro funkci \(f : y = \arcsin{x}\), \(x \in (-1,1)\), platí \(y^{\prime} = \Large\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).
Důkaz
Při důkazu se využije vztah
\(\cos{\alpha} = \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\)
který platí pro \(\alpha \in (-\Large\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\normalsize )\).
S využitím pravidla pro derivaci funkce pomocí derivace inverzní funkce víme, že
\(y^{\prime}\normalsize\; = \; \arcsin^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{\sin^{\prime}(\arcsin{x})}\),
což dále přepíšeme na
\(y^{\prime}\normalsize\; = \; \Large\frac{1}{\cos(\arcsin{x})}\).
Protože \(\arcsin{x}\) může nabývat hodnoty pouze z intervalu \((-\Large\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\normalsize )\), tak využijeme vztah \(\cos{\alpha} = \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\;\) a dostaneme
\(y^{\prime}\normalsize\; = \; \Large\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}} \normalsize \; = \; \Large\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).
Pro funkci \(f : y = \arccos{x}\), \(x \in (-1,1)\), platí \(y^{\prime} = \Large\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\).
Důkaz
Při důkazu se využije vztah
\(\sin{\alpha} = \sqrt{1-\cos^2{\alpha}}\)
který platí pro \(\alpha \in (0,\pi)\).
S využitím pravidla pro derivaci funkce pomocí derivace inverzní funkce víme, že
\(y^{\prime}\normalsize\; = \; \arccos^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{\cos^{\prime}(\arccos{x})}\),
což dále přepíšeme na
\(y^{\prime} \; = \; \Large\frac{1}{-\sin(\arccos{x})} \normalsize\).
Protože \(\arccos{x}\) může nabývat hodnoty pouze z intervalu \((0,\pi)\), tak využijeme vztah \(\sin{\alpha} = \sqrt{1-\cos^2{\alpha}}\;\) a dostaneme
\(y^{\prime} \; = \; \Large\frac{1}{-\sqrt{1-\cos^2(\arccos(x))}} \normalsize \; = \; \Large\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\).
Pro funkci \(f : y = {\rm arctg}\: x\), \(x \in \mathbb R\), platí \(y^{\prime} = \Large\frac{1}{1+x^2}\).
Důkaz
Při důkazu se využije vztah
\(\cos^2{\alpha} = \Large\frac{1}{1+{\rm tg}^2\alpha}\)
který platí pro \(\alpha \in (-\Large\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\normalsize )\).
S využitím pravidla pro derivaci funkce pomocí derivace inverzní funkce víme, že
\(y^{\prime} \; = \; {\rm arctg}^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{{\rm tg}^{\prime}({\rm arctg}\: x)}\),
což dále přepíšeme na
\(y^{\prime} \; = \; \huge\frac{1}{\frac{1}{\cos^2({\rm arctg}\: x)}} \normalsize \; = \; \cos^2({\rm arctg}\: x)\).
Protože \({\rm arctg}\: x\) může nabývat hodnoty pouze z intervalu \((-\Large\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\normalsize )\), tak využijeme vztah \(\cos^2{\alpha} = 1/(1+{\rm tg}^2\alpha)\;\) a dostaneme
\(y^{\prime} \; = \; \Large\frac{1}{1+{\rm tg}^2({\rm arctg}\: x)} \normalsize \; = \; \Large\frac{1}{1+x^2}\).
Pro funkci \(f : y = {\rm arccotg}\: x\), \(x \in \mathbb R\), platí \(y^{\prime} = \Large\frac{-1}{1+x^2}\).
Důkaz
Při důkazu se využije vztah
\(\sin^2{\alpha} = \Large\frac{1}{1+{\rm cotg}^2\alpha}\)
který platí pro \(\alpha \in (0,\pi)\).
S využitím pravidla pro derivaci funkce pomocí derivace inverzní funkce víme, že
\(y^{\prime} \; = \; {\rm arccotg}^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{{\rm cotg}^{\prime}({\rm arccotg}\: x)}\),
což dále přepíšeme na
\(y^{\prime} \; = \; \huge\frac{1}{\frac{-1}{\sin^2({\rm arccotg}\: x)}} \normalsize \; = \; -\sin^2({\rm arccotg}\: x)\).
Protože \({\rm arccotg}\: x\) může nabývat hodnoty pouze z intervalu \((0,\pi)\), tak využijeme vztah \(\sin^2{\alpha} = 1/(1+{\rm cotg}^2\alpha)\;\) a dostaneme
\(y^{\prime} \; = \; -\Large\frac{1}{1+{\rm cotg}^2({\rm arccotg}\: x)} \normalsize \; = \; \Large\frac{-1}{1+x^2}\)
