Derivace

$\begin{align} \end{align}$

Příklad 3: Rovnoběžník vepsaný do obdélníku

Do obdélníku $ABCD$ , ve kterém $|AB| = |CD| = 8$ a $|BC| = |AD| = 4$ , je vepsán rovnoběžník $KLMN$ tak, že vrchol $K$ leží na úsečce $AB$ , vrchol $L$ leží na úsečce $BC$ , vrchol $M$ leží na úsečce $CD$ a vrchol $N$ leží na úsečce $AD$ , přičemž $|AK| = |AN| = |CL| = |CM| = x$ .

Pro jaké $x$ je obsah rovnoběžníku $KLMN$ maximální?

Řešení

1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).

Maximalizujeme obsah rovnoběžníku. Označme tuto proměnnou písmenem $s$ .

Obsah pravoúhlých trojúhelníků $ANK$ a $CLM$ je dohromady $x^2.$
Obsah pravoúhlých trojúhelníků $BKL$ a $DMN$ je dohromady $(4-x)(8-x).$
Obsah rovnoběžníku $KLMN$ je

$s = 4\cdot 8 - x^2 - (4-x)(8-x) = -2x^2+12x.$

2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.

Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná $s$ závisí pouze na proměnné $x.$

3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné $x$ , na níž závisí proměnná $s$ , jejíž extrém hledáme.

Aby byl rovnoběžník $KLMN$ vepsán do obdélníku $ABCD$ , musí být $x \in ( 0, 4 \rangle$ . Pro $x = 0$ by bylo $K = N$ a $M = L$ , tedy útvar $KLMN$ by nebyl rovnoběžníkem.

Definiční obor proměnné $x$ je

$x \in ( 0, 4 \rangle .$

4. Nyní přepíšeme vztah $s = -2x^2+12x$ pro $x \in ( 0, 4 \rangle$ do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné $s$ napíšeme $f(x)$ . Z definičního oboru proměnné $x$ stanovíme definiční obor funkce $f.$

$f(x) = -2x^2+12x$ s definičním oborem $D(f) = ( 0, 4 \rangle .$

5. Najdeme hledaný extrém.

Hledáme globální maximum. Platí, že $f^{\prime}(x) = -4x + 12.$

Vzhledem k tomu, že funkce $f$ má definovanou derivaci na celém intervalu $( 0, 4 )$ , tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce $f$ a pravý krajní bod intervalu $( 0, 4 \rangle$ , tj. $x = 4$ .

Stacionární body splňuji rovnici $-4x + 12 = 0$ . Řešením z definičního oboru funkce $f$ je

$x = 3.$

Ověříme, zda má funkce $f$ ve stacionárním bodě $x = 3$ globální maximum.

Funkce $f$ je na intervalu $( 0, 4 \rangle$ spojitá. Její derivace je na intervalu $( 0, 4 )$ všude definovaná. Navíc tam má funkce $f$ jediný stacionární bod $x = 3$ .

K stanovení průběhu funkce $f$ použijeme tabulkovou metodu z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Lokální extrémy tabulkovou metodou.

$(0,3)$	$3$	$(3, 4)$	$4$
$f^{\prime}(2) = 4 \gt 0$ rostoucí	M	$f^{\prime}(4) = -4 \lt 0$ klesající	m

Poznámka:

V tabulce je testování první derivace v krajním bodě intervalu povoleno za předpokladu, že je tam tato derivace definovaná a nenulová.

Z průběhu funkce $f$ je zřejmé, že lokální maximum v bodě $x = 3$ je i globálním maximem.

Poznámka: Hledání globálního maxima bez využití derivací. Zobrazit

Funkce $f(x) = -2x^2+12x$ , jejíž globální maximum hledáme, je kvadratická funkce. Koeficient u $x^2$ je roven $-2$ , tj. je záporný. Proto uvažovali-li bychom funkci $f$ , jako kdyby byla definovaná pro všechna reálná čísla, pak by jejím grafem byla parabola s vrcholem nahoře, viz následující obrázek:

parabola s vrcholem nahoře

Definičním oborem funkce $f$ je však pouze interval $( 0, 4 \rangle$ . Proto jejím grafem je pouze část paraboly odpovídající tomuto intervalu. Příklady grafů, které jsou částmi paraboly, jsou zobrazeny na následujících třech obrázcích plnou (nečárkovanou) čarou:

Pokud x-ová souřadnice vrcholu paraboly leží v definičním oboru funkce $f$ , tj. v intervalu $( 0, 4 \rangle$ , pak má funkce $f$ v tomto bodě své globální maximum. Upravíme předpis kvadratické funkce $f$ do vrcholového tvaru:

$f(x) = -2x^2+12x = -2(x^2-6x) = -2(x^2-2x\cdot 3+3^2-3^2) =$

$= -2 [(x-3)^2-3^2] = -2(x-3)^2+18$

Vidíme, že vrchol paraboly má souřadnice $[3;18]$ . X-ová souřadnice vrcholu je $3$ , a tudíž patří do definičního oboru funkce $f$ . Proto má funkce $f$ v bodě $x = 3$ své globální maximum.

6. Zapíšeme řešení.

Rovnoběžník má maximální obsah pro $x = 3.$

Odkazy na příklady

	Př. 1: Cesta na staveniště	Př. 6: Trojúhelník pod parabolou
	Př. 2: Oplocení	Př. 7: Vitráž
*	Př. 3: Rovnoběžník vepsaný do obdélníku	Př. 8: Vzdálenost dvou bodů na dvou křivkách
	Př. 4: Rovnoramenný trojúhelník	Př. 9: Vzdálenost dvou pohybujících se osob
	Př. 5: Stavba bazénu	Př. 10: Vzdálenost pevného bodu a bodu na křivce