Příklad 9: Vzdálenost dvou pohybujících se osob
Dvě navzájem kolmé cesty se křižují v bodě P. Po cestě, která vede z jihu na sever, jde Alice. Po cestě, které veda ze západu na východ, jde Bořivoj. Na počátku, v čase t = 0 h se Alice nacházela 5\;{\rm km} jižně od bodu P a Bořivoj se nacházel 2 km východně od bodu P. Oba se v tento okamžik dali do pohybu. Alice se pohybuje na sever rychlostí 4\; {\rm km/h} a Bořivoj se pohybuje na východ rychlostí 2\; {\rm km/h}.
Určete, v jakém čase t budou Alice a Bořivoj k sobě nejblíže, a v jaké vzdálenosti to bude.
Pomůcka pro řešení: Vzdálenost |AB| je minimální, pravě když |AB|^2 je minimální.
Řešení
Cestu z jihu na sever umístíme do souřadnicové osy y a cestu ze západu na východ umístíme do souřadnicové osy x. Obě cesty se tak protínají v počátku, což znamená, že P = [0,0].
Místa, kde se nacházejí Alice a Bořovoj označíme jako body A a B.
Platí, že \; A = [0,-5+4t]\; a \; B = [2+2t,0].
1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).
Minimalizujeme délku úsečky AB. Abychom se vyhnuli počítání s odmocninami, budeme minimalizovat její druhou mocninu. Označme tuto proměnnou písmenem d.
d = |AB|^2 = (-5+4t)^2+(2+2t)^2 = 20t^2 - 32t + 29.
2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.
Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná d závisí pouze na proměnné t.
3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné t, na níž závisí proměnná d, jejíž extrém hledáme.
Proměnná t musí být nezáporná, tedy t \geq 0. Jiná podmínka zde není. Definiční obor proměnné t tedy je
t \in \langle 0, +\infty ).
4. Nyní přepíšeme vztah d = 20t^2 - 32t + 29 pro t \in \langle 0, +\infty ) do tvaru funkčního předpisu. Proměnnou t nahradíme proměnnou x. Místo proměnné d napíšeme f(x). Z definičního oboru proměnné t stanovíme definiční obor funkce f.
f(x) = 20x^2 - 32x + 29 s definičním oborem D(f) = \langle 0, +\infty ).
5. Najdeme hledaný extrém.
Hledáme globální minimum. Platí, že f^{\prime}(x) = 40x - 32.
Vzhledem k tomu, že funkce f má definovanou derivaci na celém intervalu ( 0, +\infty ), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce f a levý krajní bod intervalu \langle 0, +\infty ), tj. x = 0.
Stacionární body splňuji rovnici 40x - 32 = 0. Řešením z definičního oboru funkce f je
x = \dfrac{4}{5} = 0{,}8.
Ověříme, zda má funkce f ve stacionárním bodě x = 0{,}8 globální minimum.
Funkce f je na intervalu \langle 0, +\infty ) spojitá. Její derivace je na intervalu ( 0, +\infty ) všude definovaná. Navíc tam má funkce f jediný stacionární bod x = 0{,}8. Proto přicházejí v úvahu pouze tyto možnosti:
(a) funkce f je na intervalu \langle 0; 0{,}8 \rangle klesající a na intervalu \langle 0{,}8; +\infty ) rostoucí;
(b) funkce f je na intervalu \langle 0; 0{,}8 \rangle rostoucí a na intervalu \langle 0{,}8; +\infty ) klesající;
(c) funkce f je na intervalu \langle 0; +\infty ) buď jen rostoucí, nebo jen klesající.
Přitom jsme využili teorii z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Monotónnost tabulkovou metodou. Dále využijeme teorii z podkapitoly Lokální extrémy pomocí 2. derivace.
Určíme znaménko druhé derivace funkce f ve stacionárním bodě x = 0{,}8:
f^{\prime\prime}(x) = 40.
Platí, že f^{\prime\prime}(0{,}8) = 40 \gt 0. To znamená, že funkce f má v bodě x = 0{,}8 ostré lokální minimum.
Proto nemohou platit možnosti (b) a (c). Musí tedy platit možnost (a). To znamená, že funkce f má v bodě x = 0{,}8 globální minimum.
Poznámka: Hledání globálního minima bez využití derivací. 
6. Zapíšeme řešení.
Vzájemná vzdálenost bodů A a B bude minimální v čase t = 48 minut.
(protože \; t = x \; a \; 0{,}8\;{\rm h} = 60 \cdot 0{,}8 \; {\rm min})
Jejich vzdálenost bude činit \sqrt{f(0{,}8)} = \sqrt{16{,}2} \doteq 4{,}02\; {\rm km}.
Odkazy na příklady