Příklad 9: Vzdálenost dvou pohybujících se osob
Dvě navzájem kolmé cesty se křižují v bodě \(P\). Po cestě, která vede z jihu na sever, jde Alice. Po cestě, které veda ze západu na východ, jde Bořivoj. Na počátku, v čase \(t\) = 0 h se Alice nacházela \(5\;{\rm km}\) jižně od bodu \(P\) a Bořivoj se nacházel 2 km východně od bodu \(P\). Oba se v tento okamžik dali do pohybu. Alice se pohybuje na sever rychlostí \(4\; {\rm km/h}\) a Bořivoj se pohybuje na východ rychlostí \(2\; {\rm km/h}\).
Určete, v jakém čase \(t\) budou Alice a Bořivoj k sobě nejblíže, a v jaké vzdálenosti to bude.
Pomůcka pro řešení: Vzdálenost \(|AB|\) je minimální, pravě když \(|AB|^2\) je minimální.
Řešení
Cestu z jihu na sever umístíme do souřadnicové osy \(y\) a cestu ze západu na východ umístíme do souřadnicové osy \(x\). Obě cesty se tak protínají v počátku, což znamená, že \(P = [0,0].\)
Místa, kde se nacházejí Alice a Bořovoj označíme jako body \(A\) a \(B.\)
Platí, že \(\; A = [0,-5+4t]\;\) a \(\; B = [2+2t,0].\)
1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).
Minimalizujeme délku úsečky \(AB\). Abychom se vyhnuli počítání s odmocninami, budeme minimalizovat její druhou mocninu. Označme tuto proměnnou písmenem \(d\).
\(d = |AB|^2 = (-5+4t)^2+(2+2t)^2 = 20t^2 - 32t + 29.\)
2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.
Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná \(d\) závisí pouze na proměnné \(t.\)
3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné \(t\), na níž závisí proměnná \(d\), jejíž extrém hledáme.
Proměnná \(t\) musí být nezáporná, tedy \(t \geq 0\). Jiná podmínka zde není. Definiční obor proměnné \(t\) tedy je
\(t \in \langle 0, +\infty )\).
4. Nyní přepíšeme vztah \(d = 20t^2 - 32t + 29\) pro \(t \in \langle 0, +\infty )\) do tvaru funkčního předpisu. Proměnnou \(t\) nahradíme proměnnou \(x\). Místo proměnné \(d\) napíšeme \(f(x)\). Z definičního oboru proměnné \(t\) stanovíme definiční obor funkce \(f.\)
\(f(x) = 20x^2 - 32x + 29\) s definičním oborem \(D(f) = \langle 0, +\infty ).\)
5. Najdeme hledaný extrém.
Hledáme globální minimum. Platí, že \(f^{\prime}(x) = 40x - 32.\)
Vzhledem k tomu, že funkce \(f\) má definovanou derivaci na celém intervalu \(( 0, +\infty )\), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce \(f\) a levý krajní bod intervalu \(\langle 0, +\infty )\), tj. \(x = 0\).
Stacionární body splňuji rovnici \(40x - 32 = 0\). Řešením z definičního oboru funkce \(f\) je
\(x = \dfrac{4}{5} = 0{,}8.\)
Ověříme, zda má funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = 0{,}8\) globální minimum.
Funkce \(f\) je na intervalu \(\langle 0, +\infty )\) spojitá. Její derivace je na intervalu \(( 0, +\infty )\) všude definovaná. Navíc tam má funkce \(f\) jediný stacionární bod \(x = 0{,}8\). Proto přicházejí v úvahu pouze tyto možnosti:
(a) funkce \(f\) je na intervalu \(\langle 0; 0{,}8 \rangle\) klesající a na intervalu \(\langle 0{,}8; +\infty )\) rostoucí;
(b) funkce \(f\) je na intervalu \(\langle 0; 0{,}8 \rangle\) rostoucí a na intervalu \(\langle 0{,}8; +\infty )\) klesající;
(c) funkce \(f\) je na intervalu \(\langle 0; +\infty )\) buď jen rostoucí, nebo jen klesající.
Přitom jsme využili teorii z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Monotónnost tabulkovou metodou. Dále využijeme teorii z podkapitoly Lokální extrémy pomocí 2. derivace.
Určíme znaménko druhé derivace funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = 0{,}8\):
\(f^{\prime\prime}(x) = 40.\)
Platí, že \(f^{\prime\prime}(0{,}8) = 40 \gt 0\). To znamená, že funkce \(f\) má v bodě \(x = 0{,}8\) ostré lokální minimum.
Proto nemohou platit možnosti (b) a (c). Musí tedy platit možnost (a). To znamená, že funkce \(f\) má v bodě \(x = 0{,}8\) globální minimum.
Poznámka: Hledání globálního minima bez využití derivací. 
6. Zapíšeme řešení.
Vzájemná vzdálenost bodů \(A\) a \(B\) bude minimální v čase \(t = 48\) minut.
(protože \(\; t = x \;\) a \(\; 0{,}8\;{\rm h} = 60 \cdot 0{,}8 \; {\rm min}\))
Jejich vzdálenost bude činit \(\sqrt{f(0{,}8)} = \sqrt{16{,}2} \doteq 4{,}02\; {\rm km}.\)
Odkazy na příklady