Derivace

$\begin{align} \end{align}$

Monotónnost tabulkovou metodou

V této podkapitole se naučíte nalézat intervaly monotónnosti pro různé funkce tabulkovou metodou. Platí zde předpoklady uvedené v podkapitole Předpoklady, kde je také vysvětlen pojem interval spojitosti, který se v celé této podkapitole využívá.

Nejprve je uvedena teorie a pak příklady a úlohy.

Teoretická část

Definice

Je-li funkce $f$ definovaná v nějakém okolí bodu $x_0$ a platí-li, že $f^{\prime}(x_0) = 0$ , pak se $x_0$ nazývá stacionární bod funkce $f$ .

Věta

Je-li každé $x_0$ z otevřeného intervalu $(a,b)$ stacionárním bodem funkce $f$ , potom je $f$ na tomto intervalu konstantní.

Naopak: Je-li $f$ na otevřeném intervalu $(a,b)$ konstantní, pak je každé $x_0$ z tohoto intervalu stacionárním bodem funkce $f$ .

Věta

Má-li funkce $f$ v každém bodě otevřeného intervalu $(a,b)$ kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí.

Má-li ji v každém bodě zápornou, je v tomto intervalu klesající.

Věta

Má-li funkce $f$ v každém bodě otevřeného intervalu $(a,b)$ nenulovou derivaci, pak tam má tato derivace stále stejné znaménko. To znamená, že je funkce $f$ na tomto intervalu monotónní.

Tabulková metoda pro určování intervalů monotónnosti:
Tisková verze je k dispozici >zde<.

Nejprve stanovíme intervaly spojitosti dané funkce. Tyto intervaly jsou vysvětleny v podkapitole Předpoklady. Mohou být otevřené, polouzavřené i uzavřené. U funkcí, které budeme zkoumat, platí, že sjednocením těchto intervalů dostaneme jejich definiční obor.
Vypočítáme derivaci funkce.
Stanovíme body z intervalů spojitosti, ve kterých není derivace definována, a stacionární body.
Pro každý interval spojitosti sestavíme samostatnou tabulku podle následujících dvou bodů.
Každý interval spojitosti dále rozdělíme pomocí krajních bodů, pokud je obsahuje, stacionárních bodů a bodů, v nichž není derivace definována, na otevřené intervaly, a tyto body a intervaly uvedeme do záhlaví příslušné tabulky.
Pro každý interval v záhlaví tabulky otestujeme v jednom libovolném bodě tohoto intervalu znaménko derivace, a podle přechozích vět stanovíme, zda je tam funkce rostoucí nebo klesající. To uvedeme v tabulce.
V závislosti na situaci případně využijeme následující větu:

Věta

Nechť je funkce spojitá na otevřeném intervalu $(a,b)$ a nechť $c \in (a,b)$ . Pokud je funkce rostoucí na intervalech $(a,c)$ a $(c,b)$ , pak je rostoucí i na intervalu $(a,b)$ . Pokud je funkce klesající na intervalech $(a,c)$ a $(c,b)$ , pak je klesající i na intervalu $(a,b)$ .

Je-li funkce monotónní na otevřeném intervalu $(a,b)$ a spojitá na intervalu $\langle a,b)$ , pak je monotónní na intervalu $\langle a,b)$ . Obdobně pro interval $(a,b \rangle$ .

Je-li funkce monotónní na otevřeném intervalu $(a,b)$ a spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$ , pak je monotónní na intervalu $\langle a,b \rangle$ .

Příklady a úlohy

Příklad 1

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = x^2 - 4x$ .

Řešení

Intervaly spojitosti: $(-\infty, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 2x - 4$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $2x - 4 = 0$ ): $2$ .
Tabulka:

$(-\infty, 2)$	$2$	$(2, +\infty)$
$f^{\prime}(1) = -2 \lt 0$ klesající		$f^{\prime}(3) = 2 \gt 0$ rostoucí

Závěr: Funkce $f$ je klesající na intervalu $(-\infty, 2 \rangle$ a rostoucí na intervalu $\langle 2, +\infty)$ .

Úloha 1

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = x^2 + 4x + 3$ .

Intervaly spojitosti: $(-\infty, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 2x + 4$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $2x + 4 = 0$ ): $-2$ .
Tabulka:

$(-\infty, -2)$	$-2$	$(-2, +\infty)$
$f^{\prime}(-3) = -2 \lt 0$ klesající		$f^{\prime}(-1) = 2 \gt 0$ rostoucí

Závěr:

Příklad 2

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = -x^3 + 3x - 2$ .

Řešení

Intervaly spojitosti: $(-\infty, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = -3x^2 + 3$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $-3x^2 + 3 = 0$ ): $-1; 1$ .
Tabulka:

$(-\infty, -1)$	$-1$	$(-1, 1)$	$1$	$(1, +\infty)$
$f^{\prime}(-2) = -9 \lt 0$ klesající		$f^{\prime}(0) = 3 \gt 0$ rostoucí		$f^{\prime}(2) = -9 \lt 0$ klesající

Závěr: Funkce $f$ je klesající na intervalu $(-\infty, -1 \rangle$ a na intervalu na intervalu $\langle 1, +\infty)$ a rostoucí na intervalu $\langle {-1}, 1 \rangle$ .

Úloha 2

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = x^3 - 3x^2 + 2$ .

Intervaly spojitosti: $(-\infty, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti
Tabulka:

$(-\infty, 0)$	$0$	$(0, 2)$	$2$	$(2, +\infty)$
$f^{\prime}(-1) = 9 \gt 0$ rostoucí		$f^{\prime}(1) = -3 \lt 0$ klesající		$f^{\prime}(3) = 9 \gt 0$ rostoucí

Závěr:

Příklad 3

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = \Large\frac{3x^4-8x^3}{12}$ .

Řešení

Intervaly spojitosti: $(-\infty, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = x^3 - 2x^2$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $x^3 - 2x^2 = 0$ ): $0; 2$ .
Tabulka:

$(-\infty, 0)$	$0$	$(0, 2)$	$2$	$(2, +\infty)$
$f^{\prime}(-1) = -3 \lt 0$ klesající		$f^{\prime}(1) = -1 \lt 0$ klesající		$f^{\prime}(3) = 9 \gt 0$ rostoucí

Závěr: Funkce $f$ je klesající na intervalu $(-\infty, 2 \rangle$ a rostoucí na intervalu $\langle 2, +\infty)$ .

Úloha 3

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = \Large\frac{3x^4+4x^3}{12}$ .

Intervaly spojitosti: $(-\infty, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = x^3 + x^2$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti
Tabulka:

$(-\infty, -1)$	$-1$	$(-1, 0)$	$0$	$(0, +\infty)$
$f^{\prime}(-2) = -4 \lt 0$ klesající				$f^{\prime}(1) = 2 \gt 0$ rostoucí

Závěr:

Úloha 4

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = (x-6)^3 + 12$ .

Intervaly spojitosti: $(-\infty, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 3(x-6)^2$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $3(x-6)^2 = 0$ ): $6$ .
Tabulka:

$(-\infty, 6)$	$6$	$(6, +\infty)$
$f^{\prime}(5) = 3 \gt 0$ rostoucí		$f^{\prime}(7) = 3 \gt 0$ rostoucí

Závěr:

Příklad 4

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = e^x(x^2-3x+1)$ .

Řešení

Intervaly spojitosti: $(-\infty, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = e^x(x^2-x-2)$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $x^2-x-2 = 0$ ): $-1; 2$ .
Tabulka:

$(-\infty, -1)$	$-1$	$(1, 2)$	$2$	$(2, +\infty)$
$f^{\prime}(-2) = 4e^{-2} \gt 0$ rostoucí		$f^{\prime}(0) = -2 \lt 0$ klesající		$f^{\prime}(3) = 4e^3 \gt 0$ rostoucí

Závěr: Funkce $f$ je rostoucí na intervalu $(-\infty, -1 \rangle$ a na intervalu $\langle 2, +\infty)$ a klesající na intervalu $\langle {-1}, 2 \rangle$ .

Úloha 5

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = e^{-x}(-x^2+2x-1)$ .

Intervaly spojitosti: $(-\infty, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = e^{-x}(x^2-4x+3)$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $x^2-4x+3 = 0$ ): $1; 3$ .
Tabulka:

$(-\infty, 1)$	$1$	$(1, 3)$	$3$	$(3, +\infty)$
$f^{\prime}(0) = 3 \gt 0$ rostoucí				$f^{\prime}(4) = 3e^{-4} \gt 0$ rostoucí

Závěr:

Příklad 5

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = \Large\frac{x^2-4x+4}{x+1}$ .

Řešení

Čitatel v předpisu zadané funkce lze vydělit jmenovatelem. Dostaneme, že $y = -5 + x + \Large\frac{9}{x+1}$ .

Intervaly spojitosti: $(-\infty, -1)$ a $(-1, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 1-\Large\frac{9}{(x+1)^2}$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $1-\Large\frac{9}{(x+1)^2}\normalsize = 0$ ): $-4; 2$ .
Dvě tabulky: jedna pro interval $(-\infty, -1)$ a druhá pro interval $(-1, +\infty)$ .

$(-\infty, -4)$	$-4$	$(-4, -1)$
$f^{\prime}(-5) = \frac{7}{16} \gt 0$ rostoucí		$f^{\prime}(-2) = -8 \lt 0$ klesající

$(-1, 2)$	$-2$	$(2, +\infty)$
$f^{\prime}(0) = -8 \lt 0$ klesající		$f^{\prime}(3) = \frac{7}{16} \gt 0$ rostoucí

Závěr: Funkce $f$ je rostoucí na intervalu $(-\infty, -4 \rangle$ a na intervalu $\langle 2, +\infty)$ a klesající na intervalu $\langle {-4}, -1)$ a na intervalu $({-1}, 2 \rangle$ .

Úloha 6

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = \Large\frac{-x^2-4}{x}$ .

Intervaly spojitosti: $(-\infty, 0)$ a $(0, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = -1+\Large\frac{4}{x^2}$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti
Dvě tabulky:

$(-\infty, -2)$	$-2$	$(-2, 0)$
		$f^{\prime}(-1) = 3 \gt 0$ rostoucí

$(0, 2)$	$2$	$(2, +\infty)$
$f^{\prime}(1) = 3 \gt 0$ rostoucí

Závěr:

Příklad 6

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = e^{-x}+\Large\frac{1}{x}$ .

Řešení

Intervaly spojitosti: $(-\infty, 0)$ a $(0, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = -e^{-x}-\Large\frac{1}{x^2}$ .
Poznámka: Všimněte si, že hodnoty výrazů $e^{-x}$ a $\Large\frac{1}{x^2}$ jsou pro $x \neq 0$ vždy kladné.
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $-e^{-x}-\Large\frac{1}{x^2}\normalsize = 0$ ): žádné.
Dvě tabulky: jedna pro interval $(-\infty, 0)$ a druhá pro interval $(0, +\infty)$ .

$(-\infty, 0)$
$f^{\prime}(-1) = -e-1 \lt 0$ klesající

$(0, +\infty)$
$f^{\prime}(1) = -e^{-1}-1 \lt 0$ klesající

Závěr: Funkce $f$ je klesající na intervalu $(-\infty, 0)$ a na intervalu $(0, +\infty)$ .

Úloha 7

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = x-\Large\frac{2}{x+1}$ .

Intervaly spojitosti: $(-\infty, -1)$ a $(-1, +\infty)$ .
Derivace:
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti
Dvě tabulky:

$(-\infty, -1)$
$f^{\prime}(-2) = 3 \gt 0$ rostoucí

$(-1, +\infty)$
$f^{\prime}(0) = 3 \gt 0$ rostoucí

Závěr:

Příklad 7

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = 3x+\ln(x+2)$ .

Řešení

Intervaly spojitosti: $(-2, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 3+\Large\frac{1}{x+2}$ , pro $x \gt -2$ .
Poznámka: Všimněte si, že $\Large\frac{1}{x+2}$ je pro $x \gt -2$ vždy kladné.
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $3+\Large\frac{1}{x+2}\normalsize = 0$ pro $x \gt -2$ ): žádné.
Tabulka:

$(-2, +\infty)$
$f^{\prime}(-1) = 4 \gt 0$ rostoucí

Závěr: Funkce $f$ je rostoucí na intervalu $(-2, +\infty)$ .

Úloha 8

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = 2x+e^{3x}$ .

Intervaly spojitosti: $(-\infty, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 2+3e^{3x}$ .
Poznámka:
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti
Tabulka:

$(-\infty, +\infty)$
$f^{\prime}(0) = 5 \gt 0$ rostoucí

Závěr:

Příklad 8

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = 4 - |x+1|$ .

graf funkce

Řešení

Intervaly spojitosti: $(-\infty, +\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 1$ pro $x \lt -1$ a $f^{\prime}(x) = -1$ pro $x \gt -1$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: $-1$ .
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $f^{\prime}(x) = 0$ ): žádné.
Tabulka:

$(-\infty, -1)$	$-1$	$(-1, +\infty)$
$f^{\prime}(-2) = 1 \gt 0$ rostoucí		$f^{\prime}(0) = -1 \lt 0$ klesající

Závěr: Funkce $f$ je rostoucí na intervalu $(-\infty, -1 \rangle$ a klesající na intervalu $\langle {-1}, +\infty)$ .

Úloha 9

Určete intervaly monotónnosti funkce $f: y = |x-2|+3$ .

graf funkce

Intervaly spojitosti: $(-\infty, +\infty)$ .
Derivace:
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: $2$ .
Stacionární body z intervalů spojitosti
Tabulka:

$(-\infty, 2)$	$2$	$(2, +\infty)$
$f^{\prime}(1) = -1 \lt 0$ klesající		$f^{\prime}(3) = 1 \gt 0$ rostoucí

Závěr: