Algebra 2 (NMAG202) - informace k úvodní přednášce z algebry pro obecnou matematiku, matematiku pro informační technologie a matematické metody informační bezpečnosti v letním semestru 2019/2020. Přednáška navazuje na Algebru 1 ze zimního semestru.

Aktuálně

Základní informace

Pro sylabus a základní informace vizte popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Obsah semestru tvoří studium rozšíření těles, základních fakt o grupách, faktorstruktur a aplikací na klasické problémy (konstrukce kružítkem a pravítkem, Galoisova teorie). Látka je zhruba pokryta kapitolami III-VI skript Davida Stanovského, přednáška byla před dvěma lety natočena na video a k dispozici jsou i některé aktualizované (byť ne úplně pročištěné) texty v PDF.

Předkoronavirový rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška v pondělí, 10:40-12:10 hod. v místnosti K1,
  • cvičení ve čtvrtek, 10:40-11:25 hod. v místnosti K5 (cvičící A. Slávik),
  • cvičení ve čtvrtek, 11:30-12:15 hod. v místnosti K5 (cvičící A. Slávik),
  • cvičení ve čtvrtek, 10:40-11:25 hod. v místnosti K8 (cvičící J. Šaroch),
  • cvičení ve čtvrtek, 11:30-12:15 hod. v místnosti K8 (cvičící J. Šaroch).

Konzultace se domlouvají individuálně.

Zkouška a zápočet

V rámci možností bude systém obdobný jako v případě přednášky Algebra 1. To jest:

  1. zápočet se uděluje společně se složenou zkouškou,
  2. na výsledku zkoušky se bude 15 % podílet řešení domácích úkolů a
  3. ke stažení jsou požadavky ke zkoušce a vzor testu, které odpovídají tomu, co bylo probráno na přednášce (prezenčně i ve streamech) a je shrnuto v tabulce níže.

Zkoušet se bude teorie i vhodné příklady, typově ty z domácích úloh a z hlavního studijního textu. Některé otázky budou zaměřeny na porozumění tématu, tj. použití naučené látky na jednoduché ale ne úplně rutinní problémy. Hodnotí se také korektní matematický zápis.

Prezenční forma zkoušky

Bylo vypsáno více termínů, na každém smí aktuálně být 15 osob včetně dozoru. Půjde o písemný text a volitelné ústní dozkoušení, jako u přednášky Algebra 1. Z maximálního počtu 100 bodů za písemnou část můžete získat až 85 bodů za samotný písemný test, na který budete mít 120 minut, a 15 bodů za řešení domácích úkolů. K úspěšnému absolvování je třeba získat alespoň 60 bodů. Ústní dozkoušení je možné provést i distančně.

Distanční forma zkoušky

Zde půjde o písemný test, jehož řešení zašlete přes internet, a hned po něm o povinnou ústní část formou videohovoru přes některou běžnou platformu (Zoom, případně Skype nebo Google). Podmínky budou co možná analogické prezenční formě zkoušky.

V případě technických problémů, které znemožní dokončení zkoušky, se bude muset zkouška celá zopakovat v dohodnutém náhradním termínu.

Termíny zkoušek

Termíny byly vypsány v SISu (vizte níže).

  1. pondělí 25. května od 14:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, zadání testu, výsledky testu),
  2. čtvrtek 28. května od 9:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, zadání testu, výsledky testu),
  3. čtvrtek 4. června od 11:40 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, zadání testu, výsledky testu),
  4. sobota 6. června od ca. 13:00 hod. zkouška v přírodě na česko-slovenských hranicích (odkaz do SISu, upřesnění individuálně s přihlášenými),
  5. čtvrtek 11. června od 11:40 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, zadání testu, výsledky testu),
  6. pondělí 15. června od ca. 9:30 hod. na ÚMV UPJŠ v Košicích (odkaz do SISu, upřesnění individuálně s přihlášenými),
  7. středa 17. června od 14:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, zadání testu, výsledky testu),
  8. čtvrtek 25. června od 12:20 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, zadání testu, výsledky testu),
  9. úterý 30. června od 9:30 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, zadání testu, výsledky testu),
  10. pátek 10. července od 10:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, zadání testu, výsledky testu),
  11. čtvrtek 16. července od 12:20 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, zadání testu, výsledky testu),
  12. pondělí 21. září od 10:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, zadání testu, výsledky testu).

Domácí úlohy

Zde zůstává vše beze změn kromě distanční formy doručování. Během semestru bude zadáno 6 sad domácích cvičení, které se budou objevovat také v tabulce s probranou látkou. Termín odevzdání (s výjimkou Velikonoc) bude vždy po přednášce za 14 dní. Řešení se zasílají e-mailem v PDF opravujícímu kolegovi (adresa Vám byla sdělena) nebo i přímo vyučujícímu.

Úlohy podepisujte jménem nebo přezdívkou. Přezdívka bude také použita pro zveřejnění výsledků úkolů na webu. Úlohy můžete konzultovat se spolužáky, ale řešení musí sepsat (ne opsat!) každý sám. To se Vám bude hodit i u zkoušky. Z každé série je možné získat 15 bodů, průměr z pěti nejlepších sérií tvoří výše zmíněných 15 % zkoušky.

Co bylo probráno a domácí úlohy

Zde bude aktualizován seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách a zadané domácí úlohy.

Datum Bylo probráno Textový zdroj Video Úlohy
17. 2. Hlavní věta o symetrických polynomech, kořenová a rozkladová rozšíření těles. skripta, kap. 27.1,
kap. 2.3 a 4 v textu o polynomech 		č. 10 a č. 11 ze ZS domácí úlohy
24. 2. Důkaz Základní věty algebry, rozšíření těles a jejich stupeň, algebraické a transcendentní prvky, minimální polynom. skripta, kap. 10.2 a 25,
kap. 5 v textu o polynomech,
kap. 1.1 a 1.2 v textu o rozšíření těles 		č. 12 a č. 13 ze ZS  
2. 3. Stupeň rozšíření těles a jeho výpočet: minimální polynom a stupeň jednoduchého rozšíření, vzorec pro stupeň vícenásobného rozšíření. Struktura jednoduchého rozšíření. Konečná rozšíření jsou algebraická. skripta, kap. 25,
kap. 1 v textu o rozšíření těles 		č. 13 ze ZS domácí úlohy
9. 3. Algebraická rozšíření těles, konstrukce kružítkem a pravítkem, definice a základní příklady grup. skripta, kap. 26 a 14,
kap. 1.3 a 2 v textu o rozšíření těles,
kap. 1.1 v textu o grupách 		č. 13 ze ZS,
č. 1 z LS 		 
16. 3. Samostudium: jednoduché důsledky axiomů grup, mocniny a řád prvků, základní vlastnosti permutací, generátory podgrup, rozkladové třídy a Lagrangeova věta. str. 4-11 v textu o grupách
(od Tvrzení 1.1 do konce kap. 2),
v nějaké formě též skripta, kap. 14.2, 14.3, 15.1 a 18.1. 		č. 2, příp. i začátek č. 3 z LS domácí úlohy
23. 3. Stream: příklady grup, Lagrangeova věta a myšlenka důkazu, normální podgrupy, homomorfismy grup, Cayleyova reprezentace grupy. kap. 3 v textu o grupách,
pozn. ze streamu (hlavně str. 4 a 8),
v nějaké formě též skripta, kap. 14.3, 14.4 a 18. 		zázn. streamu,
č. 3 (od 31:45),
č. 4 (do 45. min) z LS 		 
30. 3. Stream: působení grupy na množině, orbity, pevné body, stabilizátory, Burnsideova věta, Cauchyova věta, reprezentace grup, cyklické grupy, diskrétní logaritmus, aplikace: Diffie-Helmanova výměna klíčů. kap. 5 a věta 3.7 v textu o grupách,
pozn. ze streamu,
též skripta, kap. 14.4, 15.2, 15.4, 15.5 a 19. 		zázn. streamu,
č. 6,
č. 5 (6:15 až 20:40) z LS 		domácí úlohy
6. 4. Stream: Struktura cyklických grup a konečné podgrupy multiplikativní grupy těles, faktorgrupy, kongruence grup versus normální podgrupy. kap. 4 v textu o grupách,
pozn. ze streamu,
též skripta, kap. 15.3 a 22.
 zázn. streamu,
č. 5 (od 15. min), č. 7 (do 37. min) z LS 		 
20. 4. Stream: Věty o isomorfismu pro grupy, řešitelné grupy, jejich vlastnosti a vztah k řešitelnosti polynomů v radikálech. kap. 6.2 a 6.3 v textu o grupách,
pozn. ze streamu,
"tabule". 		zázn. streamu,
č. 7 (od 37. min), č. 8 (do 37. min) z LS 		domácí úlohy
27. 4. Stream: Důkaz části věty o řešitelných grupách, faktorokruhy, kongruence versus ideály, první věta o isomorfismu pro okruhy, příklady. kap. 6.3 v textu o grupách,
pozn. ze streamu,
"tabule",
též skripta, kap. 23.1. 		zázn. streamu,
č. 8 (od 38. min), č. 9 (do 14. min) z LS 		 
4. 5. Stream: Maximální ideály a prvoideály, jednoznačnost kořenových a rozkladových nadtěles, definice Galoisových grup. kap. 2 v textu o Galoisově teorii,
pozn. ze streamu,
"tabule",
skripta, kap. 23.2. 		zázn. streamu,
č. 9 (od 14:30),
č. 10 z LS 		domácí úlohy
11. 5. Stream: Metody výpočtu a příklady Galoisových grup. kap. 2.2 v textu o Galoisově teorii,
pozn. ze streamu,
"tabule". 		zázn. streamu,
č. 11,
č. 12 (do 25. min) z LS 		 
18. 5. Stream: Cardanovy vzorce, Galoisova a Abelova-Ruffiniho věta, důkaz jedné implikace Galoisovy věty, Galoisova korespondence (bez důkazu). kap. 3 v textu o Galoisově teorii,
pozn. ze streamu,
"tabule",
skripta, kap. 10.4. 		zázn. streamu,
č. 12 (od 36:30),
č. 13 z LS 		 

Literatura a video

Přednášky z akademického roku 2017/2018 byly natočeny na video. V tomto semestru použijeme záznam z obou semestrů z toho roku:

Základním psaným zdrojem jsou skripta D. Stanovského, kde jde pro účely přednášky hlavně o kapitolu I. Látku doplňují nové (a ještě ne úplně pročištěné) on-line texty spolu s připravovanou sbírkou úloh:

Algoritmus pro výpočet Galoisovy grupy rozkladových nadtěles polynomů třetího a čtvrtého stupně je popsán v článku

  • K. Conrad, Galois groups of cubics and quartics (not in characteristic 2). [PDF ke stažení]

Existuje rovněž řada pěkných učebnic v angličtině, např.

  • J. J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra: With Applications, Pearson Prentice Hall, 3. vyd., 2006 (2 ks v knihovně),
  • L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields, Taylor & Francis, 1995. [On-line ke stažení]

Přednášený důkaz Základní věty algebry je k nalezení např. v kapitole 6.5 v knize

  • B. Fine, G. Rosenberger, The fundamental theorem of algebra, Springer-Verlag, 1997.