\begin{align}
\end{align}
Odchylka přímek a rovin
Odchylka dvou přímek
Definice
Odchylka přímek p(P, u), q(Q, v) je číslo φ ∈ <0, π/2>, pro které platí:
\(\cosφ = \dfrac{|uv|}{|u||v|}\).
Úloha
Spočítejte odchylku dvou přímek p(A; u) a q(B; v), je-li A[7; -1; 1], B[0; -2; 1], u = (8; 9; -5) a v = (5; 2; 6).
- Dosadíme do vzorce a spočítáme cosφ
\(\cosφ = \dfrac{|8 \cdot 5 + 9 \cdot 2 + (-5) \cdot 6|}{\sqrt{8^{2} + 9^{2} + (-5)^{2}} \cdot \sqrt{5^{2} + 2^{2} + 6^{2}}} = \dfrac{|28|}{\sqrt{11050}} \approx 0,27\) - φ ≈ 75°
Odchylka přímky a roviny
Odchylku přímky a roviny nepočítáme přímo, ale využijeme znalostí, které již máme.
Definice
Je-li přímka p kolmá k rovině ρ, je jejich vzájemná odchylka φ = π/2.
Není-li přímka p kolmá k rovině ρ, je jejich odchylka rovna odchylce přímky p a průsečnice p' rovin ρ a ψ, kde p ∈ ψ a ρ ⊥ ψ.
Poznámka
Ještě jednodušší je, sestrojit kolmici q k rovině ρ a počítat odchylku α přímek p a q. Vztah mezi hledanou a získanou odchylkou je:
φ = π/2 - α.
Pro výpočet odchylky φ přímky p(A, u) a roviny ρ(B, n) můžeme použít vzorec:
\(\sinφ = \cosα = \dfrac{|un|}{|u||n|}, φ \in \langle 0°;90° \rangle\).

Obr. 4.8: Odchylka přímky a roviny
Úloha
Spočítejte odchylku přímky p(A; u) a roviny ρ: 4x - 5z - 3 = 0, je-li A[-2; 7; -1], a u = (7; 4; 1).
- Využijeme toho, že odchylka φ přímky p a roviny ρ je rovna
π/2 - α, kde α je odchylka kolmice na rovinu ρ a přímky p. Kolmice k rovině ρ má směrový vektor roven normálovému vektoru roviny ρ, který můžeme jednoduše určit z obecné rovnice této roviny.
- Dosadíme do vzorce a spočítáme cosα
\(\cosα = \dfrac{|4 \cdot 7 + 0 \cdot 4 + (-5) \cdot 1|}{\sqrt{4^{2} + 0^{2} + (-5)^{2}} \cdot \sqrt{7^{2} + 4^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{|23|}{\sqrt{2706}} \approx 0,44\) - α ≈ 64°.
- φ = π/2 - α ≈ 90° - 64° ≈ 26°.
Odchylka rovin
Definice
Odchylka rovin ρ a ψ, je rovna odchylce přímek p a q, pro které platí p = (ρ ∩ σ), q = (ψ ∩ σ), kde σ je rovina kolmá na ρ i ψ.
Slovy bychom výše uvedenou definici mohli rozepsat takto:
Odchylku φ dvou rovin ρ a ψ, vypočítáme následujícím způsobem. Nejprve najdeme rovinu, která je k oběma kolmá
. Tato rovina protne roviny ρ a ψ v přímkách p a q. Odchylka φ rovin ρ a ψ je rovna odchylce přímek p a q.
Podobně jako když jsme hledali odchylku přímky a roviny, můžeme využít normálových vektorů rovin ρ a ψ. Na obr. 4.9 je vidět, že přímky r a s svírají úhel stejné velikosti jako p a q. Odchylku dvou rovin můžeme tedy snadno určit pomocí jejich normálových vektorů.

Obr. 4.9: Odchylka dvou rovin
Poznámka
Pro výpočet odchylky φ dvou rovin ρ(A, nρ) a ψ(B, nψ) můžeme použít vzorec vyplývající z předchozí úvahy:
\(\cosφ = \dfrac{|n_{ρ}n_{ψ}|}{|n_{ρ}||n_{ψ}|}, φ \in \langle 0°;90° \rangle\).
Úloha
Spočítejte odchylku rovin ρ: x + 2y + 9z + 9 = 0 a σ: -9x + 1y + 3z - 8 = 0.
- Normálové vektory rovin ρ i σ známe. Víme, že odchylka dvou rovin se rovná odchylce jejich normálových vektorů, můžeme tedy rovnou počítat jejich odchylku φ.
- Dosadíme do vzorce a spočítáme cosφ
\(\cosφ = \dfrac{|1 \cdot (-9) + 2 \cdot 1 + 9 \cdot 3|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 9^{2}} \cdot \sqrt{(-9)^{2} + 1^{2} + 3^{2}}} = \dfrac{|20|}{\sqrt{7826}} \approx 0,23\) - φ ≈ 77°.