\begin{align} \end{align}

Vzájemná poloha hyperboly a přímky

V rovině mohou nastat tři různé vzájemné polohy hyperboly H a přímky p: nemají žádný společný bod, mají jeden společný bod nebo mají dva společné body.

  • pH = ∅
    Přímka p nemá s hyperbolou H žádný společný bod.
  • pH = {T}
    Přímka p má s hyperbolou H právě jeden společný bod, bod T.

    • Pokud je přímka p různoběžná s asymptotami hyperboly, nazýváme ji tečnou hyperboly H.

    • Pokud je přímka p rovnoběžná s některou z asymptot hyperboly H, tečnou jí nenazýváme.

  • pH = {X, Y}
    Přímka hyperbolou prochází a protíná ji v bodech X a Y. Přímku p nazýváme sečnou hyperboly H.
Obr. 5.23: Vzájemná poloha přímky a hyperboly
Obr. 5.23: Vzájemná poloha přímky a hyperboly
Příklad 5.20
Určete počet společných bodů hyperboly H: \(\dfrac{(x + 2)^{2}}{9} - \dfrac{(y - 1)^{2}}{4} = 1\) a přímky p: x + 3y - 1 = 0.
Řešení
  • Z rovnice přímky vyjádříme x = 1 + 3y a dosadíme do rovnice hyperboly: \(\dfrac{(1 + 3y + 2)^{2}}{9} - \dfrac{(y - 1)^{2}}{4} = 1\).
  • Získanou kvadratickou rovnici upravíme na
    4(9y2 - 6y + 1) - 9(y2 - 2y + 1) = 36,
    27y2 - 6y - 41 = 0.
  • Z diskriminantu této rovnice určíme počet jejích řešení a tím zároveň počet průsečíků hyperboly H a přímky p.
    D = 36 - 4⋅27⋅(-41) = 4 464.
    D > 0, rovnice má dvě různá řešení. To znamená, že hyperbola H a přímka p mají dva společné body.
Příklad 5.21

Je dána přímka p: 4x - 15y - 4 = 0 a hyperbola H: \(\dfrac{(x - 1)^{2}}{81} - \dfrac{y^{2}}{9} = 1\). Určete jejich vzájemnou polohu a společné body, pokud existují.

Řešení
  • Podobně jako v příkladě 5.20 si nejprve z rovnice přímky p vyjádříme x: \(x = \dfrac{15y + 4}{4}\).
  • Dosadíme do rovnice hyperboly H a řešíme kvadratickou rovnici:

    \(\dfrac{\left(\dfrac{15y + 4}{4} - 1\right)^{2}}{81} - \dfrac{y^{2}}{9} = 1\),

    \(\dfrac{\left(\dfrac{15y}{4}\right)^{2}}{81} - \dfrac{y^{2}}{9} = 1\),

    \(\dfrac{225y^{2}}{16} - 9y^{2} = 81\),

    81y2 = 896,
    y2 = 16,
    y1, 2 = ±4.
  • Rovnice má dvě řešení, proto je přímka p sečnou hyperboly H. Jejich průsečíky jsou body P1[16; 4] a P2[-14; 4], jejichž x-ové souřadnice získáme dosazením hodnot y1, 2 do rovnice přímky p.
Věta
Rovnice \(\dfrac{(x_{0} - m)(x - m)}{a^{2}} - \dfrac{(y_{0} - n)(y - n)}{b^{2}} = 1\) je rovnicí tečny k hyperbole s rovnicí
\(\dfrac{(x - m)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y - n)^{2}}{b^{2}} = 1\) v bodě X0[x0; y0].
Příklad 5.22

Napište rovnici tečny hyperboly 4x2 - 5y2 - 24x - 20y - 4 = 0 v jejím bodě T[8; -6].

Řešení
  • Obecnou rovnici hyperboly převedeme na rovnici středovou:
    4(x2 - 6x + 9 - 9) - 5(y2 + 4y + 4 - 4) = 4,
    4(x - 3)2 - 5(y + 2)2 - 36 + 20 = 4,
    4(x - 3)2 - 5(y + 2)2 = 20,
    \(\dfrac{(x - 3)^{2}}{5} - \dfrac{(y + 2)^{2}}{4} = 1\).
  • Rovnici tečny hyperboly v bodě T určíme z dokázané věty. Je to:
    \(\dfrac{(x - 3)(8 - 3)}{5} - \dfrac{(y + 2)(-6 + 2)}{4} = 1\),
  • x + y - 2 = 0.
Úloha

Najděte průsečíky tečny hyperboly H:

\(\dfrac{(x + 2)^{2}}{4} - \dfrac{(y - 5)^{2}}{8} = 1\)

v bodě T[4; -3] s přímkami p: x - 4y + 12 = 0 a q: -x + y + 2 = 0.

Řešení