Analytická geometrie

---

Tečna k hyperbole v nějakém bodě X0 musí splňovat následující podmínky:

• Musí to být přímka, která obsahuje bod X0.
• Bod X0 musí být jediným společným bodem této přímky a hyperboly.
• Daná přímka nesmí být rovnoběžná s asymptotami příslušné hyperboly.

Větu budeme dokazovat pro hyperbolu s rovnicí \(\dfrac{(x - m)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y - n)^{2}}{b^{2}} = 1\). Ukážeme, že přímka \(\dfrac{(x_{0} - m)(x - m)}{a^{2}} - \dfrac{(y_{0} - n)(y - n)}{b^{2}} = 1\) všechny tři výše uvedené podmínky splňuje.
Nejprve upravíme rovnici \(\dfrac{(x_{0} - m)(x - m)}{a^{2}} - \dfrac{(y_{0} - n)(y - n)}{b^{2}} = 1\)        (5.6),
b2(x - m)(x0 - m) - a2(y - n)(y0 - n) = a2b2,
xb2(x0 - m) - ya2(y0 - n) - b2mx0 + b2m2 + a2y0n - a2n2 = a2b2.
Protože buď b2(x0 - m) nebo a2(y0 - n) jsou různé od nuly, jedná se o rovnici přímky s normálovým vektorem n = (b2(x0 - m); a2(y0 - n)). Budeme zkoumat, zda na této přímce leží bod X0. Dosadíme-li do rovnice (5.6) souřadnice bodu X0, získáme \(\dfrac{(x_{0} - m)(x_{0} - m)}{a^{2}} - \dfrac{(y_{0} - n)(y_{0} - n)}{b^{2}} = 1\),
\(\dfrac{(x_{0} - m)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y_{0} - n)^{2}}{b^{2}} = 1\).
To platí, protože bod X0 je zároveň bodem hyperboly s rovnicí \(\dfrac{(x - m)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y - n)^{2}}{b^{2}} = 1.\) Teď ukážeme, že zkoumaná přímka není rovnoběžná s asymptotami dané hyperboly. Rovnice asymptot jsou \(\dfrac{(x - m)}{a} = \pm \dfrac{(y - n)}{b}\), bx - bm ± (ay - an) = 0.
Jejich normálové vektory jsou na1, a2 = (b; ±a). Jak už jsme zjistili výše, zkoumaná přímka má normálový vektor n = (b2(x0 - m); a2(y0 - n)). Přímka by s některou z asymptot byla rovnoběžná právě tehdy, kdyby normálový vektor přímky byl násobkem normálového vektoru této asymptoty.
Budeme dokazovat sporem. Kdyby zkoumaná přímka byla rovnoběžná s některou z asymptot, muselo by existovat číslo k ∈ , pro které by platilo:
b2 (x0 - m) = kb ∧ (a2(y0 - n) = ka ∨ a2(y0 - n) = -ka).                    (5.7)
Z první rovnosti můžeme vyjádřit k = b(x0 - m). Dosadíme-li do dalších dvou rovností za k, zjistíme, že by měla platit jedna z následujících rovností: \((y_{0} - n) = \pm \dfrac{b}{a}(x_{0} - m)\).
Víme, že bod X0 je bodem hyperboly, musí tedy platit \(\dfrac{(x_{0} - m)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y_{0} - n)^{2}}{b^{2}} = 1\).
Dosadíme-li do této rovnice za (y0 - n), získáme \(\dfrac{(x_{0} - m)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{b^{2}}{a^{2}} (x_{0} - m)^{2} \dfrac{1}{b^{2}} = 1\). 0 = 1.
Tím jsme došli ke sporu, můžeme tedy říci, že neexistuje číslo k ∈ , pro které by vztah (5.7) platil a zkoumaná přímka proto není rovnoběžná s asymptotami.
Zbývá dokázat, že přímka b2(x0 - m)(x - m) - a2(y0 - n)(y - n) = a2b2 má s hyperbolou jen jeden společný bod. Z rovnice přímky vyjádříme například (x - m):
\((x - m) = \dfrac{a^{2}b^{2} + a^{2}(y_{0} - n)(y - n)}{b^{2}(x_{0} - m)}\).
Za (x - m) dosadíme do rovnice hyperboly a řešíme kvadratickou rovnici:
\(\dfrac{\left(\dfrac{a^{2}b^{2} + a^{2}(y_{0} - n)(y - n)}{b^{2}(x_{0} - m)}\right)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y - n)^{2}}{b^{2}} = 1\),
\(\dfrac{a^{4}b^{4} + 2a^{4}b^{2}(y_{0} - n)(y - n) + a^{4}(y_{0} - n)^{2}(y - n)^{2}}{a^{2}b^{4}(x_{0} - m)^2} - \dfrac{(y - n)^{2}}{b^{2}} = 1\),
a2b4 + 2b2a2(y0 - n)(y - n) + a2(y0 - n)2(y - n)2 - b2(x0 - m)2(y - n)2 = b4(x0 - m)2.
Provedeme substituci t = y - n a dalšími úpravami se propracujeme k
t2((y0 - n)2a2 - b2(x0 - m)2) + t(2a2b2(y0 - n)) + b4(a2 - (x0 - m)2) = 0.
Diskriminant této rovnice je:
D = (2a2b2(y0 - n))2 - 4((y0 - n)2a2 - b2(x0 - m)2)b4(a2 - (x0 - m)2) = 4a4b4(y0 - n)2 - 4b4(y0 - n)2a4 + 4b4a2(y0 - n)2(x0 - m)2 + 4b6a2(x0 - m)2 - 4b6(x0 - m)4 = 4b4((y0 - n)2(x0 - m)2a2 + a2(x0 - m)2b2 - b2(x0 - m)4) = 4b4(x0 - m)2((y0 - n)2a2 + a2b2 - b2(x0 - m)2).
Z rovnice hyperboly víme, že a2b2 = b2(x0 - m)2 - a2(y0 - n)2,
tedy
D = 4b4(x0 - m)2((y0 - n)2a2 + b2(x0 - m)2 - a2(y0 - n)2 - b2(x0 - m)2) = 0.
Rovnice má jedno dvojnásobné řešení. To znamená, že zkoumaná přímka má s hyperbolou právě jeden společný bod a tím je, jak jsme již dříve dokázali, bod X0[x0; y0].