\begin{align} \end{align}


3.3 Rozklad mnohočlenu na součin

Definice

Rozkladem mnohočlenu na součin rozumíme vyjádření daného mnohočlenu jako součinu jednodušších, většinou již dále nerozložitelných, mnohočlenů.

Existuje několik způsobů rozkladu mnohočlenu na součin:
1. Rozklad na součin vhodným vytknutím před závorku
Před závorku vytkneme výraz, který se vyskytuje ve všech členech mnohočlenu.

Příklad 3.14

Rozlož mnohočlen na součin vhodným vytknutím před závorku:
a) \(3x-6y+6z^2\) b) \(xy-yz\) c) \(x(2-y)+3(2-y)-z(2-y)\)
d) \(x^3-x^2y+2x-2y\) e) \(2x(y - 3) + (y - 3)\)

Řešení

a) \(3x-6y+6z^2 = 3(x-2y+2z^2)\)
b) \(xy-yz = y(x-z)\)
c) \(x(2-y)+3(2-y)-z(2-y) = (2-y)(x+3-z)\)
d) \(x^3-x^2y+2x-2y = x^2(x-y)+2(x-y) = (x-y)(x^2+2)\)
e) \(2x(y - 3) + (y - 3) = 2x(y - 3) + 1(y - 3) = (y - 3)(2x + 1)\)


2. Rozklad na součin pomocí vzorce
Většinou používáme následující vzorce (s některými už jsme se setkali u součinu mnohočlenů):

Pro všechna \(a\), \(b \in \mathbb R\) platí:
\((a+b)^2\)\(=\)\(a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2\)\(=\)\(a^2-2ab+b^2\)
\(a^2-b^2\)\(=\)\((a+b)(a-b)\)
\((a+b)^3\)\(=\)\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3\)\(=\)\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\(a^3+b^3\)\(=\)\((a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3\)\(=\)\((a-b)(a^2+ab+b^2)\)

Poznámka

Abychom dodrželi přesné znění definice rozkladu mnohočlenu, tedy že mnohočlen vyjádříme jako součin jednodušších mnohočlenů, měli bychom správně psát např. \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)(a+b)\). Pro větší přehlednost ale budeme i v dalším textu používat zkrácený zápis, tedy \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 \).

Příklad 3.15

Rozlož mnohočlen na součin s využitím vzorců:
a) \(x^2-4x+4\) b) \(y^3+27\) c) \(25x^2-9y^4\) d) \(8x^3-125\)

Řešení

a) \(x^2-4x+4 = x^2-2 \cdot x \cdot 2+2^2 = (x-2)^2\)

b) \(y^3+27 = y^3+3^3 = (y+3)\left(y^2-y \cdot 3+3^2\right) = (y+3)(y^2-3y+9)\)

c) \(25x^2-9y^4 = \left(5x\right)^2 - \left(3y^2\right)^2 = \left(5x+3y^2\right)\left(5x-3y^2\right)\)

d) \(8x^3-125 = (2x)^3-5^3 = (2x-5)\left[(2x)^2+2x \cdot 5+5^2 \right] = (2x-5)(4x^2+10x+25)\)


3. Rozklad kvadratického trojčlenu na součin
V tomto případě chceme rozložit kvadratický trojčlen \(x^2 + px + q\), kde \(x \in \mathbb R\), \(p\), \(q \in \mathbb Z\), na součin dvou lineárních dvojčlenů \((x - r)(x - s)\), kde \(r\), \(s \in \mathbb Z\). Ne vždy taková čísla \(r\), \(s\) existují. Pokud však existují, tak pro ně platí: \(x^2 + px + q = (x - r)(x - s) = x^2 - rx - sx + rs = x^2 - (r + s)x + rs\)
Porovnáním koeficientů příslušných lineárních a absolutních členů zjistíme, že \(q = rs \wedge p = -\,(r + s)\). Z těchto dvou podmínek určíme čísla \(r\), \(s\), jestliže existují.

Příklad 3.16

Rozlož kvadratický trojčlen na součin dvou lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty:
a) \(x^2 - 7x + 12\) b) \(x^2 + 2x - 6\) c) \(x^2 - 2x - 15\) d) \(x^2 + 9x + 8\)

Řešení

a) V kvadratickém trojčlenu je \(p = -\,7\), \(q = 12\).

  • Pokud existují \(r\), \(s \in \mathbb Z\) taková, že \(x^2 + px + q = (x - r)(x - s)\), tak pro ně musí platit, že \(12 = rs \wedge -\,7 = - \,(r + s)\).
  • Aby byla splněna první podmínka, přichází v úvahu tyto možnosti:
    \(12 = 12 \cdot 1 = (-\,12) \cdot (-\,1) = 6 \cdot 2 = (-\,6) \cdot (-\,2) = 4 \cdot 3 = (-\,4) \cdot (-\,3)\)
  • Obě podmínky musí být splněny současně. Vybíráme proto z předchozích možností tu, která vyhovuje
    i druhé podmínce, což je \(-\,7 = -\,(4 + 3)\), tj. \(r = 4\), \(s = 3\).
  • Výsledek je tedy: \(x^2 - 7x + 12 = (x - 4)(x - 3)\)
  • Lze psát také \(x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)\), neboť násobení je komutativní. Čísla \(p\), \(q\) jsou ovšem určena jednoznačně!

b) V kvadratickém trojčlenu je \(p = 2\), \(q = - \,6\).
  • Hledáme čísla \(r\), \(s \in \mathbb Z\) taková, že \(-\,6 = rs \wedge 2 = -\,(r + s)\).
  • První podmínce vyhovuje \(-\,6 = (-\,6) \cdot 1 = 6 \cdot (-\,1) = (-\,3) \cdot 2 = 3 \cdot (-\,2)\).
  • Žádná kombinace ovšem nesplňuje druhou podmínku (po dosazení jednotlivých kombinací z první podmínky nikdy nenastane rovnost levé a pravé strany rovnice).
  • Tento kvadratický trojčlen proto nelze rozložit na součin dvou lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty.

c) V kvadratickém trojčlenu je \(p = -\,2\), \(q = -\,15\).
  • Hledáme čísla \(r\), \(s \in \mathbb Z\) taková, že \(-\,15 = rs \wedge -\,2 = -\,(r + s)\).
  • První podmínce vyhovuje \(-\,15 = (-\,15) \cdot 1 = 15 \cdot (-\,1) = (-\,5) \cdot 3 = 5 \cdot (-\,3)\).
  • A druhá podmínka je splněna pro \(-\,2 = -\,(5 - 3)\), tj. \(r = 5\), \(s = -\,3\).
  • Výsledek je tedy: \(x^2 - 2x - 15 = (x - 5)\left(x - (-3)\right) = (x - 5)(x + 3)\)
d) V kvadratickém trojčlenu je \(p = 9\), \(q = 8\).
  • Hledáme čísla \(r\), \(s \in \mathbb Z\) taková, že \(8 = rs \wedge 9 = -\,(r + s)\).
  • První podmínce vyhovuje \(8 = 8 \cdot 1 = (-\,8) \cdot (-\,1) = 4 \cdot 2 = (-\,4) \cdot (-\,2)\).
  • A druhá podmínka je splněna pro \(9 = -\,(-\,8 - 1)\), tj. \(r = -\,8\), \(s = -\,1\).
  • Výsledek je tedy: \(x^2 + 9x + 8 = \left(x - (-\,8)\right)\left(x - (-\,1)\right) = (x + 8)(x + 1)\)


Poznámka

Uvedený rozklad kvadratického trojčlenu na součin platí i v případě, že koeficienty trojčlenu jsou z oboru reálných čísel. Hledané koeficienty lineárních dvojčlenů pak také patří do oboru reálných čísel. Tento rozklad je znám také pod názvem Viètovy vzorce.

Rozklad mnohočlenu na součin není vždycky patrný na první pohled. Někdy dokonce nelze v oboru reálných čísel vůbec provést (např. mnohočlen \(a^2 + b^2\)).


Cvičení k této části.