\begin{align}
\end{align}
Cvičení - Rozšiřování lomených výrazů, jejich součet a rozdíl
Cvičení 4.16
Rozhodni, zda je výraz ve třetím sloupci společným násobkem předchozích dvou mnohočlenů:
Cvičení 4.17
Urči společný násobek daných mnohočlenů:
a) \(25b^3(b + 1) \; \;\) a \(\; \; 15b(b^2 + 2b + 1)\)
Oba mnohočleny rozložíme na součin.
\(25b^3(b + 1) = 5 \cdot 5 \cdot b \cdot b \cdot b \cdot (b + 1)\)
\(15b(b^2 + 2b + 1) = 15b(b + 1)^2 = 3 \cdot 5 \cdot b \cdot (b + 1) \cdot (b + 1)\)
Společným násobkem je výraz \(3 \cdot 5^2 \cdot b^3 \cdot (b + 1)^2 = 75b^3(b + 1)^2\).
b) \(64(b^2 - 81) \; \;\) a \(\; \; 8b(b + 9)^2\)
Oba mnohočleny rozložíme na součin.
\(64(b^2 - 81) = 8 \cdot 8 \cdot (b + 9) \cdot (b - 9)\)
\(8b(b + 9)^2 = 8 \cdot b \cdot (b + 9) \cdot (b + 9)\)
Společným násobkem je výraz \(8^2 \cdot b \cdot (b + 9)^2 \cdot (b - 9) =
64b(b - 9)(b + 9)^2\).
c) \(18(a + 3)b^3 \; \;\) a \( \; \; 4(b + 3)^2b\)
Oba mnohočleny rozložíme na součin.
\(18(a + 3)b^3 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (a + 3) \cdot b \cdot b \cdot b\)
\(4(b + 3)^2b = 2 \cdot 2 \cdot (b + 3) \cdot (b + 3) \cdot b\)
Společným násobkem je výraz \(2^2 \cdot 3^2 \cdot (a + 3) \cdot b^3 \cdot (b + 3)^2 = 36b^3(a + 3)(b + 3)^2\).
Cvičení 4.18
Urči čitatele místo otazníku tak, aby platila rovnost:
Cvičení 4.19
Vhodným rozšířením uprav lomené výrazy tak, aby měly společného jmenovatele:
a) \(\displaystyle \frac {1} {2 - y} \;\), \(\displaystyle \; \; \frac {2} {2 + y} \; \;\) a
\(\displaystyle \; \; \frac {3} {y}\)
Společným jmenovatelem je výraz \(y(2 - y)(2 + y)\).
\(\displaystyle \frac {1 \cdot y(2 + y)} {(2 - y) \cdot y(2 + y)}= \frac {y(2 + y)} {y(2 - y)(2 + y)}\)
\(\displaystyle \frac {2 \cdot y(2 - y)} {(2 + y) \cdot y(2 - y)} = \frac {2y(2 - y)} {y(2 - y)(2 + y)}\)
\(\displaystyle \frac {3 \cdot (2 - y)(2 + y)} {y \cdot (2 - y)(2 + y)} = \frac {3(2 - y)(2 + y)} {y(2 - y)(2 + y)}\)
Podmínky: \(y \in \mathbb R - \{0; \pm 2 \}\)
b) \(\displaystyle \frac {2 + y} {y - 5} \;\), \(\displaystyle \; \; \frac {8} {y} \; \; \) a
\(\displaystyle \; \; \frac {14 + y} {y^2 - 5y} \; \; \;\)
Společným jmenovatelem je výraz \(y(y - 5)\).
\(\displaystyle \frac {(2 + y) \cdot y} {(y - 5) \cdot y} = \frac {y(2 + y)} {y(y - 5)}\)
\(\displaystyle \frac {8 \cdot (y - 5)} {y \cdot (y - 5)} = \frac {8(y - 5)} {y(y - 5)}\)
\(\displaystyle \frac {(14 + y) \cdot 1} {(y^2 - 5y) \cdot 1} = \frac {14 + y} {y(y - 5)}\)
Podmínky: \(y \in \mathbb R - \{0; 5 \}\)
c) \(\displaystyle \frac {6} {y - 3} \;\), \(\displaystyle \; \; \frac {y - 3} {2y + 6}\; \;\) a
\(\displaystyle \; \; \frac {1 + y} {y^2 - 9}\)
Společným jmenovatelem je výraz \(2(y + 3)(y - 3)\).
\(\displaystyle \frac {6 \cdot 2(y + 3)} {(y - 3) \cdot 2(y + 3)} = \frac {12(y + 3)} {2(y + 3)(y - 3)}\)
\(\displaystyle \frac {(y - 3) \cdot (y - 3)} {(2y + 6) \cdot (y - 3)} = \frac {(y - 3)^2} {2(y + 3)(y - 3)}\)
\(\displaystyle \frac {(1 + y) \cdot 2} {(y^2 - 9) \cdot 2} = \frac {2(1 + y)} {2(y + 3)(y - 3)}\)
Podmínky: \(y \in \mathbb R - \{\pm 3\}\)
Cvičení 4.20
Rozhodni, zda pro libovolné výrazy \(V_1\), \(V_2\),
\(V_3\), \(V_4\), přičemž pro všechny hodnoty proměnných je
\(V_2 \neq 0\), \(V_3 \neq 0\),
\(V_4 \neq 0\) a \(V_3 \neq - V_4\), platí :
Cvičení 4.21
Vypočítej:
a) \(\displaystyle \frac {u + 8} {u^2 - 2u} + \frac {4} {u} =\)
\(\displaystyle \frac {u + 8} {u(u - 2)} + \frac {4} {u} =\)
\(\displaystyle \frac {(u + 8)\cdot 1 + 4 \cdot (u - 2)} {u(u - 2)} =\)
\(\displaystyle \frac {u + 8 + 4u - 8} {u(u - 2)} =\)
\(\displaystyle \frac {5u} {u(u - 2)} =\)
\(\displaystyle \frac {5} {u - 2}\)
Podmínky: \(u \in \mathbb R - \{0; 2\}\)
b) \(\displaystyle \frac {2u} {u + 5} + \frac {10} {u - 5} + 2 =\)
\(\displaystyle \frac {2u \cdot (u - 5) + 10 \cdot (u + 5) + 2 \cdot (u + 5)(u - 5)} {(u + 5)(u - 5)} =\)
\(\displaystyle = \frac {2u^2 - 10u + 10u + 50 + 2(u^2 - 25)} {(u + 5)(u - 5)} =\)
\(\displaystyle \frac {2u^2 + 50 + 2u^2 - 50} {(u + 5)(u - 5)} =\)
\(\displaystyle \frac {4u^2} {(u + 5)(u - 5)}\)
Podmínky: \(u \in \mathbb R - \{\pm 5\}\)
c) \(\displaystyle \frac {u - 2} {u^2 + 2u + 1} - \frac {3} {u^2 + u} =\)
\(\displaystyle \frac {u - 2} {(u + 1)^2} - \frac {3} {u(u + 1)} =\)
\(\displaystyle \frac {(u - 2) \cdot u - 3 \cdot (u + 1)} {u(u + 1)^2} =\)
\(\displaystyle \frac {u^2 - 2u - 3u - 3} {u(u + 1)^2} =\)
\(\displaystyle = \frac {u^2 - 5u - 3} {u(u + 1)^2}\)
Podmínky: \(u \in \mathbb R - \{-\,1; 0\}\)
d) \(\displaystyle \frac {u + v} {v} - \frac {2u - v} {u + v} =\)
\(\displaystyle \frac {(u + v) \cdot (u + v) - (2u - v) \cdot v} {(u + v)v} =\)
\(\displaystyle \frac {u^2 + 2uv + v^2 - 2uv + v^2} {(u + v)v} =\)
\(\displaystyle \frac {u^2 + 2v^2} {(u + v)v}\)
Podmínky: \(u \in \mathbb R\), \(v \in \mathbb R -\{0\}\)
a zároveň \(u \neq - \, v\)
e) \(\displaystyle \frac {u + v} {u} + \frac {v^2} {u^2 - uv} - \frac {u} {u - v} =\)
\(\displaystyle \frac {u + v} {u} + \frac {v^2} {u(u - v)} - \frac {u} {u - v} =\)
\(\displaystyle \frac {(u + v) \cdot (u - v) + v^2 \cdot 1 - u \cdot u} {u(u - v)} =\)
\(\displaystyle = \frac {u^2 - v^2 + v^2 - u^2} {u(u - v)} =\)
\(0\)
Podmínky: \(u \in \mathbb R - \{0\}\), \(v \in \mathbb R\)
a zároveň \(u \neq v\)
f) \(\displaystyle \frac {2} {u - 1} - \frac {4u} {u^2 - 1} + \frac {u - 1} {u + 1} - 1 =\)
\(\displaystyle \frac {2} {u - 1} - \frac {4u} {(u + 1)(u - 1)} + \frac {u - 1} {u + 1} - 1 =\)
\(\displaystyle = \frac {2 \cdot (u + 1) - 4u \cdot 1 + (u - 1) \cdot (u - 1) - 1 \cdot (u + 1)(u - 1)}
{(u + 1)(u - 1)} =\)
\(\displaystyle \frac {2u + 2 - 4u + u^2 - 2u + 1 - u^2 + 1} {(u + 1)(u - 1)} =\)
\(\displaystyle = \frac {- \, 4u + 4} {(u + 1)(u - 1)} =\)
\(\displaystyle \frac {- \, 4(u - 1)} {(u + 1)(u - 1)} =\)
\(\displaystyle \frac {- \, 4} {u + 1}\)
Podmínky: \(u \in \mathbb R - \{\pm 1\}\)
Cvičení 4.22
Vypočítej:
a) \(\displaystyle \left(\frac {2} {x} - \frac {2} {y}\right) \div \left(\frac {4} {x} + \frac {4} {y} \right) =\)
\(\displaystyle \frac {2y - 2x} {xy} \div \frac {4y + 4x} {xy} =\)
\(\displaystyle \frac {2(y - x)} {xy} \cdot \frac {xy} {4(y + x)} =\)
\(\displaystyle \frac {y - x} {2y + 2x}\)
Podmínky: \(x \in \mathbb R - \{0\}\), \(y \in \mathbb R - \{0\}\)
a zároveň \(x \neq - \, y\)
b) \(\displaystyle \left(\frac {x} {x + 9} + \frac {1} {x + 5}\right)^2 \cdot
\left(\frac {x + 3} {x^2 + 5x + 9x + 45}\right)^{-3} =\)
\(\displaystyle \left[\frac {x \cdot (x + 5) + 1 \cdot (x + 9)} {(x + 9)(x + 5)} \right]^2 \cdot
\left[\frac {x + 3} {x(x + 5) + 9(x + 5)}\right]^{-3} =\)
\(\displaystyle = \left[\frac {x^2 + 5x + x + 9} {(x + 9)(x + 5)} \right]^2 \cdot
\left[\frac {x + 3}{(x + 5)(x + 9)}\right]^{-3} =\)
\(\displaystyle \left[\frac {x^2 + 6x + 9} {(x + 9)(x + 5)} \right]^2 \cdot
\frac {(x + 5)^3(x + 9)^3} {(x + 3)^3} =\)
\(\displaystyle = \frac {(x + 3)^4} {(x + 9)^2(x + 5)^2} \cdot \frac {(x + 5)^3(x + 9)^3} {(x + 3)^3} =\)
\(\displaystyle (x + 3)(x + 5)(x + 9)\)
Podmínky: \(x \in \mathbb R - \{- \, 9; - \, 5; - \, 3\}\)
c) \(\displaystyle \frac {x - \Large \frac {2x \, - \, 6} {x \, + \, 2}\normalsize}
{\; \; 3 + \Large \frac {x^2 \, - \, 3x} {x \, + \, 2}\; \;} =\)
\(\displaystyle \frac {x(x + 2) - (2x - 6)} {x + 2} \div \frac {3(x + 2) + x^2 - 3x} {x + 2} =\)
\(\displaystyle = \frac {x^2 + 2x - 2x + 6} {x + 2} \cdot \frac {x + 2} {3x + 6 + x^2 - 3x} =\)
\(\displaystyle \frac {x^2 + 6} {x + 2} \cdot \frac {x + 2} {x^2 + 6} =\)
\(1\)
Podmínky: \(x \in \mathbb R - \{-\,2\}\)
d) \(\displaystyle \Large \frac {\frac {x \, + \, 1} {y \, - \, 3} - \frac {x \, - \, 1} {y \, + \, 3}}
{\; \; \frac {x} {y \, - \, 3} - \frac {x} {y \, + \, 3}\; \;} =\)
\(\displaystyle \frac {(x + 1) \cdot (y + 3) - (x - 1) \cdot (y - 3)} {(y - 3)(y + 3)} \div
\frac {x \cdot (y + 3) - x \cdot (y - 3)} {(y - 3)(y + 3)} =\)
\(\displaystyle = \frac {xy + 3x + y + 3 - xy + y + 3x - 3} {(y - 3)(y + 3)} \cdot
\frac {(y - 3)(y + 3)} {xy + 3x - xy + 3x} =\)
\(\displaystyle \frac {6x + 2y} {1} \cdot \frac {1} {6x} =\)
\(\displaystyle \frac {3x + y} {3x}\)
Podmínky: \(x \in \mathbb R - \{0\}\), \(y \in \mathbb R - \{\pm 3\}\)
Cvičení 4.23
Slovní úloha
Pavel chce zlepšit svou fyzickou kondici, proto zvažuje, že každý den uplave \(x\) km. Během týdne navštěvuje
sportovní centrum, ve kterém měří bazén \(m\) metrů, zatímco o víkendu chodí plavat do aquaparku, v němž je
bazén o \(n\) metrů delší. O kolik bazénů více musí Pavel uplavat ve sportovním centru než v aquaparku,
aby splnil svůj limit?
Počet bazénů, které musí Pavel uplavat ve sportovním centru, lze zapsat jako \(\displaystyle \frac {x} {m}\).
Počet bazénů, které musí Pavel uplavat v aquaparku, lze zapsat jako \(\displaystyle \frac {x} {m + n}\).
Rozdíl v počtu uplavaných bazénů v aquaparku a sportovním centru:
\(\displaystyle \frac {x} {m} - \frac {x} {m + n}\)
\(\displaystyle = \frac {x \cdot (m + n) - x \cdot m} {m(m + n)}\)
\(\displaystyle = \frac {xm + xn - xm} {m(m + n)}\)
\(\displaystyle = \frac {xn} {m(m + n)}\)
Pavel musí ve sportovním centru uplavat o \(\displaystyle \frac {xn} {m(m + n)}\) bazénů více než v aquaparku,
aby splnil svůj limit.
Cvičení 4.24
Slovní úloha
Jedním z ukazatelů životní úrovně obyvatelstva je hrubý domací produkt (HDP) na osobu. Zjednodušeně jej můžeme vypočítat
jako podíl výše HDP a velikosti populace. HDP lze přitom chápat jako celkové výdaje jednotlivých sektorů (domácností, firem,
státu) na nákup finálních statků a služeb.
Předpokládejme, že v zemi A i v zemi B činí výše HDP \(p\) stejných peněžních jednotek.
Populace v zemi A
čítá \(a\) osob, zatímco v zemi B žije
o \(b\) obyvatel méně. Která země má vyšší životní úroveň?
O kolik vzhledem ke druhé zemi?
Životní úroveň v zemi A lze vyjádřit vztahem \(\displaystyle \frac {p} {a}\).
Životní úroveň v zemi B lze vyjádřit vztahem \(\displaystyle \frac {p} {a - b}\).
Vyšší životní úroveň je v zemi B, neboť při stejné hodnotě čitatele je nižší hodnota jmenovatele,
proto je výsledný podíl vyšší.
Rozdíl v životních úrovních (označíme jej \(x\)) vypočítáme následovně:
\(\displaystyle x = \frac {p} {a - b} - \frac {p} {a}\)
\(\displaystyle \; = \; \frac {p \cdot a - p \cdot (a - b)} {(a - b) \cdot a}\)
\(\displaystyle \; = \; \frac {pa - pa + pb} {(a - b)a}\)
\(\displaystyle \; = \; \frac {pb} {(a - b)a}\)
Vyšší životní úroveň je v zemi B, a to o \(\displaystyle \frac {pb} {(a - b)a}\) peněžních jednotek na osobu
než v zemi A.
Cvičení 4.25 
Vypočítej:
a) \(\displaystyle \frac {1 - \Large \frac {p^2 \, + \, q^2} {p^2 \, - \, q^2} \normalsize}
{\Large \, \frac {p \, + \, q} {p \, - \, q} \normalsize - \Large \frac {p \, - \, q} {p \, + \, q} \, \normalsize} \cdot
\frac {(1 - q)^2} {2q^2 - q^3 - q} =\)
\(\displaystyle = \left[\frac {1 \cdot \left(p^2 - q^2\right) - \left(p^2 + q^2\right)} {p^2 - q^2} \div
\frac {(p + q) \cdot (p + q) - (p - q) \cdot (p - q)} {(p - q)(p + q)}\right] \cdot
\frac {(1 - q)^2} {q(2q - q^2 - 1)} =\)
\(\displaystyle = \frac {p^2 - q^2 - p^2 - q^2} {p^2 - q^2} \cdot
\frac {(p - q)(p + q)} {\left(p^2 + 2pq + q^2\right) - \left(p^2 - 2pq + q^2\right)} \cdot
\frac {(1 - q)^2} {- \, q(q^2 - 2q + 1)} =\)
\(\displaystyle = \frac {-2q^2} {(p - q)(p + q)} \cdot \frac {(p - q)(p + q)} {4pq} \cdot
\frac {(1 - q)^2} {-q(q - 1)^2} =\)
\(\displaystyle \frac {- \, q} {1} \cdot \frac {1} {2p} \cdot \frac {(1 - q)(1 - q)(-1)(-1)} {- \, q(q - 1)^2} =\)
\(\displaystyle = 1 \cdot \frac {1} {2p} \cdot \frac {(q - 1)^2} {(q - 1)^2} =\)
\(\displaystyle \frac {1} {2p}\)
Podmínky: \(p \in \mathbb R - \{0\}\), \(q \in \mathbb R - \{0; 1\}\)
a zároveň \(p \neq \pm q\)
b) \(\displaystyle \Large \, \frac {\frac {1 \, - \, p} {1 \, - \, p \, + \, p^2} + \frac {1 \, + \, p} {1 \, + \, p \, + \, p^2}\,}
{\frac {1 \, + \, p} {1 \, + \, p \, + \, p^2} - \frac {1 \, - \, p} {1 \, - \, p \, + \, p^2}} \normalsize \div \Large
\frac {\frac {p^2 \, - \, 2p \, + \, p \, - \, 2} {p^2 \, + \, 2p \, + \, 1}} {\frac {p^4 \, - \, 2p^3} {p \, + \, 1}} \normalsize =\)
\(\displaystyle = \left[\frac {(1 - p) \cdot (1 + p + p^2) + (1 + p) \cdot (1 - p + p^2)} {(1 - p + p^2)(1 + p + p^2)} \div
\frac {(1 + p) \cdot (1 - p + p^2) - (1 - p) \cdot (1 + p + p^2)} {(1 + p + p^2)(1 - p + p^2)}\right] \div \)
\(\displaystyle \div \left[\frac {p^2 - 2p + p - 2} {p^2 + 2p + 1} \div \frac {p^4 - 2p^3} {p + 1}\right] =\)
\(\displaystyle = \left[\frac {1 + p + p^2 - p - p^2 - p^3 + 1 - p + p^2 + p - p^2 + p^3} {(1 - p + p^2)(1 + p + p^2)}
\cdot \frac {(1 + p + p^2)(1 - p + p^2)} {1 - p + p^2 + p - p^2 + p^3 - 1 - p - p^2 + p + p^2 + p^3}\right] \div\)
\(\displaystyle \div \left[\frac {p(p - 2) + p - 2} {(p + 1)^2} \cdot \frac {p + 1} {p^3(p - 2)}\right] =\)
\(\displaystyle = \left(\frac {2} {1} \cdot \frac {1} {2p^3}\right) \div
\left[\frac {(p - 2)(p + 1)} {(p + 1)^2} \cdot \frac {p + 1} {p^3(p - 2)}\right] =\)
\(\displaystyle \frac {1} {p^3} \div \frac {1} {p^3} =\)
\(\displaystyle \frac {1} {p^3} \cdot \frac {p^3} {1} =\)
\(1\)
Podmínky: \(p \in \mathbb R - \{-\,1; 0; 2\}\)
