Základní poznatky z matematiky

Uprav lomený výraz vhodným rozšířením tak, aby jeho jmenovatel odpovídal jmenovateli
uvedenému v závorce:

a) \(\displaystyle \frac {a} {a - 4}\) \(\displaystyle \left[ \frac {?} {a^2 - 4a}\right]\)

b) \(\displaystyle \frac {a + 2} {3 - a}\) \(\displaystyle \left[\frac {?} {a - 3}\right]\)

c) \(\displaystyle \frac {a + 4} {4 - a}\) \(\displaystyle \left[\frac {?} {16 - a^2}\right]\)

Řešení

a) Lomený výraz rozšíříme výrazem \(a\).
\(\; \; \displaystyle \frac {a \cdot a} {(a - 4) \cdot a} = \frac {a^2} {a^2 - 4a}\)
Rozšířený lomený výraz má smysl za podmínky, že \(a \in \mathbb R - \{0; 4\}\).

b) Lomený výraz rozšíříme výrazem \(-1\).
\(\; \; \displaystyle \frac {(a + 2) \cdot (-1)} {(3 - a) \cdot (-1)} = \frac {-a - 2} {a - 3}\)
Rozšířený lomený výraz má smysl za podmínky, že \(a \in \mathbb R - \{3\}\).

c) Lomený výraz rozšíříme výrazem \(4 + a\).
\(\; \; \displaystyle \frac {(a + 4)(4 + a)} {(4 - a)(4 + a)} = \frac {(a + 4)^2} {16 - a^2}\)
Rozšířený lomený výraz má smysl za podmínky, že \(a \in \mathbb R - \{\pm 4\}\).

Uprav lomené výrazy vhodným rozšířením tak, aby měly oba ve jmenovateli stejný výraz:

a) \(\displaystyle \frac {2} {b^3} \; \;\) a \(\displaystyle \; \; \frac {3} {b(b + 1)}\)

Řešení

a) První lomený výraz rozšíříme jmenovatelem druhého výrazu, druhý lomený výraz jmenovatelem prvního výrazu

\(\displaystyle \frac {2 \cdot b(b + 1)} {b^3 \cdot b(b + 1)} = \frac {2b(b + 1)} {b^4(b + 1)} \; \;\) a \(\displaystyle \; \; \frac {3 \cdot b^3} {b(b + 1) \cdot b^3} = \frac {3b^3} {b^4(b + 1)}\) .

Získali jsme lomené výrazy se stejným výrazem ve jmenovateli. Vidíme ovšem, že oba nově vzniklé lomené výrazy lze krátit výrazem \(b\), čímž dostaneme

\(\displaystyle \frac {2(b + 1)} {b^3(b + 1)} \; \;\) a \(\displaystyle \; \; \frac {3b^2} {b^3(b + 1)}\) ,

tudíž opět dva lomené výrazy, které odpovídají zadání. Které řešení tedy platí? Správné jsou obě varianty, ale preferujeme druhé vyjádření (mocnina \(b^3\) je nižší než \(b^4\)).
Podmínky: \(b \in \mathbb R - \{-\,1; 0\}\)

Urči společný násobek mnohočlenů:

a) \(4a^2(b + 1)^2 \; \;\) a \(\; \; 6a^4(b + 1)\)

b) \(20(a - 2)^2 \; \;\) a \(\; \; 15(a^2 - 4)\)

Řešení

a) Oba mnohočleny rozložíme na součin.
\(4a^2(b + 1)^2 = 2 \cdot 2 \cdot a \cdot a \cdot (b + 1) \cdot (b + 1)\)
\(6a^4(b + 1) = 2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot (b + 1)\)
Jako společný násobek označíme součin, jehož činitelé jsou činiteli alespoň v jednom rozkladu výrazů,
přičemž mocnitelé u těchto činitelů korespondují s nejvyšším počtem jejich výskytů v těchto rozkladech,
tj. \(2^2 \cdot 3^1 \cdot a^4 \cdot (b + 1)^2 = 12a^4(b + 1)^2\).
Společným násobkem zadaných mnohočlenů je výraz \(12a^4(b + 1)^2\).

b) Oba mnohočleny rozložíme na součin.
\(20(a - 2)^2 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot (a - 2) \cdot (a - 2)\)
\(15(a^2 - 4) = 3 \cdot 5 \cdot (a + 2) \cdot (a - 2)\)
Společným násobkem zadaných mnohočlenů je výraz \(2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot (a - 2)^2 \cdot (a + 2)^1 = 60(a + 2)(a - 2)^2\).

Vypočítej:

a) \(\displaystyle \frac {x - 9} {3} + \frac {x + 3} {x}\)

b) \(\displaystyle \frac {3 - x} {x^2 - 9} + \frac {1} {x^2 + 3x} + \frac {1} {x}\)

Řešení

a) Společný jmenovatel je \(3 \cdot x\), proto:
\(\displaystyle \frac {x - 9} {3} + \frac {x + 3} {x} = \frac {(x - 9) \cdot x + (x + 3) \cdot 3} {3 \cdot x} = \frac {x^2 - 9x + 3x + 9} {3x} = \frac {x^2 - 6x + 9} {3x} = \frac {(x - 3)^2} {3x}\)

Výpočet má smysl za podmínky, že \(x \in \mathbb R - \{0\}\).

b) Společný jmenovatel je \((x + 3)(x - 3)x\), proto:
\(\displaystyle \frac {3 - x} {x^2 - 9} + \frac {1} {x^2 + 3x} + \frac {1} {x} = \frac {3 - x} {(x + 3)(x - 3)} + \frac {1} {x(x + 3)} + \frac {1} {x} = \)

\(\displaystyle = \frac {(3 - x) \cdot x + 1 \cdot (x - 3) + 1 \cdot (x + 3)(x - 3)} {(x + 3)(x - 3)x} = \frac {3x - x^2 + x - 3 + x^2 - 9} {x(x + 3)(x - 3)} = \frac {4x - 12} {x(x + 3)(x - 3)} = \)

\(\displaystyle = \frac {4(x - 3)} {x(x + 3)(x - 3)} = \frac {4} {x(x + 3)}\)

Výpočet má smysl za podmínky, že \(x \in \mathbb R - \{-\,3; 0; 3\}\).

Vypočítej:

a) \(\displaystyle \frac {16} {2p^2 - 8p} - \frac {2} {p - 4}\)

b) \(\displaystyle p - \frac {p^2 - q} {p}\)

Řešení

a) \(\displaystyle \frac {16} {2p^2 - 8p} - \frac {2} {p - 4} = \frac {16} {2p(p - 4)} - \frac {2} {p - 4} = \frac {16 \cdot 1 - 2 \cdot 2p} {2p(p - 4)} = \frac {16 - 4p} {2p(p - 4)} = \frac {4(4 - p)} {2p(p - 4)} = \)

\(\displaystyle = \frac {(-1) \cdot 4 \cdot (-1) \cdot (4 - p)} {2p(p - 4)} = \frac {- \, 4(p - 4)} {2p(p - 4)} = \frac {- \, 4} {2p}\)

Výpočet má smysl za podmínky, že \(p \in \mathbb R - \{0; 4\}\).

b) \(\displaystyle p - \frac {p^2 - q} {p} = \; \frac {p} {1} - \frac {p^2 - q} {p} = \; \frac {p \cdot p - (p^2 - q) \cdot 1} {p} = \; \frac {p^2 - (p^2 - q)} {p} = \frac {p^2 - p^2 + q} {p} = \; \frac {q} {p}\)

Výpočet má smysl za podmínky, že \(p \in \mathbb R - \{0\}\), \(q \in \mathbb R\).

Vypočítej:

a) \(\displaystyle \left(\frac {2} {a + 1} - \frac {4a} {a^2 - 1}\right) \cdot \left(\frac {1} {a} - 1\right)\)

b) \(\displaystyle \frac {18a} {6a^2 - 6b^2} + \LARGE \frac {\Large \frac {ab \, - \, b^2} {a^3 \, + \, a^2b \, + \, 5a \, + \, 5b}} {\Large \frac {a^2 \, - \, 2ab \, + \, b^2} {3a^2 \, + \, 15}}\)

Řešení

a) \(\displaystyle \left(\frac {2} {a + 1} - \frac {4a} {a^2 - 1}\right) \cdot \left(\frac {1} {a} - 1\right) = \left(\frac {2} {a + 1} - \frac {4a} {(a - 1)(a + 1)}\right) \cdot \left(\frac {1 - 1 \cdot a} {a}\right) = \frac {2 \cdot (a - 1) - 4a} {(a + 1)(a - 1)} \cdot \frac {1 - a} {a} = \)

\(\displaystyle = \frac {2a - 2 - 4a} {(a + 1)(a - 1)} \cdot \frac {1 - a} {a} = \frac {-2a - 2} {(a + 1)(a - 1)} \cdot \frac {1 - a} {a} = \frac {-2(a + 1)} {(a + 1)(a - 1)} \cdot \frac {(a - 1) \cdot (-1)} {a} = \frac {-2} {1} \cdot \frac {-1} {a} = \frac {2} {a}\)

Výpočet platí za podmínky, že \(a \in \mathbb R - \{-\, 1; 0; 1 \}\).

b) \(\displaystyle \frac {18a} {6a^2 - 6b^2} + \LARGE \frac {\Large \frac {ab \, - \, b^2} {a^3 \, + \, a^2b \, + \, 5a \, + \, 5b}} {\Large \frac {a^2 \, - \, 2ab \, + \, b^2} {3a^2 \, + \, 15}} \normalsize = \frac {18a} {6a^2 - 6b^2} + \frac {ab - b^2} {a^3 + a^2b + 5a + 5b} \div \frac {a^2 - 2ab + b^2} {3a^2 + 15} =\)

\(\displaystyle = \frac {18a} {6(a^2 - b^2)} + \frac {b(a - b)} {a^2(a + b) + 5(a + b)} \cdot \frac {3a^2 + 15} {a^2 - 2ab + b^2} = \frac {3a} {a^2 - b^2} + \frac {b(a - b)} {(a + b)(a^2 + 5)} \cdot \frac {3(a^2 + 5)} {(a - b)^2} = \)

\(\displaystyle = \frac {3a} {(a - b)(a + b)} + \frac {b \cdot 3} {(a + b) \cdot (a - b)} = \frac {3a + 3b} {(a - b)(a + b)} = \frac {3(a + b)} {(a - b)(a + b)} = \frac {3} {a -b}\)

Výpočet platí za podmínky, že \(a \in \mathbb R\), \(b \in \mathbb R\) a zároveň \(a \neq \pm b\).

Slovní úloha
Předpokládejme, že se tuňákové konzervy běžně prodávají v balení po \(x\) kusech, přičemž cena za balení činí
\(k\) Kč. V rámci mimořádné nabídky lze koupit za stejnou cenu větší balení, ve kterém je o \(y\) konzerv více než obvykle. Jakou částku lze využitím této akce ušetřit za každou tuňákovou konzervu?

Řešení

Ušetřenou částku (označíme ji \(u\)) vypočítáme jako rozdíl ceny za jednu konzervu bez slevy a ve slevě:

\(\displaystyle u = \frac {k} {x} - \frac {k} {x + y} = \frac {k \cdot (x + y) - k \cdot x} {x \cdot (x + y)} = \frac {kx + ky - kx} {x(x + y)} = \frac {ky} {x(x + y)}\)

Využitím mimořádné nabídky lze ušetřit \(\displaystyle \frac {ky} {x(x + y)}\) Kč za jednu konzervu.