2.4 Mocniny s racionálním mocnitelem
Z předcházejícího výkladu umíme počítat s mocninami s celým mocnitelem. Zároveň víme, že každé racionální číslo
lze vyjádřit ve tvaru zlomku \(\displaystyle \frac {m} {n}\), kde \(m \in \mathbb Z\),
\(n \in \mathbb N\). Lze tedy rozšířit definici mocniny i na racionální exponent? Má smysl zápis
\(\displaystyle a^{\Large \frac {m} {n}}\)?
Pravidla pro počítání s odmocninami možná některým
připomněla pravidla pro mocniny. Podívejme se tedy, zda
mezi mocninami a odmocninami existuje souvislost. Pro libovolné kladné reálné číslo \(a\) si zvolme
např. \(\sqrt[\large 3 \,]{a^{- \,12}}\). Podle výše zmíněných pravidel může tuto odmocninu upravit:
\(\displaystyle \sqrt[\large 3 \,]{a^{\, - \,12}\;} = \sqrt[\large 3 \,]{\left(a^{\, - \,4}\right)^3 \;} = a^{\,- \, 4}\)
\(\displaystyle \sqrt[\large 3 \,]{a^{\, - \, 12}\;} = a^{\, - \, 4} = a^{\Large - \frac {12} {3}}\)
Zdá se tedy, že pro libovolné \(m = k \cdot n\), kde \(m\), \(k \in \mathbb Z\), \(n \in \mathbb N\) a pro všechna kladná reálná čísla \(a\) platí:
\(\displaystyle \sqrt[\large n \,]{a^{\large \,m}} = \sqrt[\large n \,]{a^{\large \, k \cdot n}} = \sqrt[\large n \,]{\left(a^{\large \,k}\right)^{\large n}} = a^{\large \, k} = a^{\Large \frac {m} {n}}\)
Zřejmě lze tudíž mocninu s racionálním mocnitelem definovat vztahem:
\(a^{\Large \frac {m} {n}} = \sqrt[\large n \,]{a^m}\)
Takto definovaná mocnina s racionálním exponentem je rozšířením mocniny s celým mocnitelem, jelikož pro všechna celá čísla \(m\) platí:
\(\displaystyle a^{\Large \frac {m}{1}} = \sqrt[\large 1 \,]{a^m} = a^m\)
Definice
Pro každé kladné reálné číslo \(a\), pro každé celé číslo \(m\) a pro každé přirozené číslo \(n\) definujeme mocninu s racionálním mocnitelem vztahem:\(\displaystyle a^{\Large \frac {m} {n}} = \sqrt[\large n \,]{a^m}\)
Mocnina s racionálním mocnitelem je určena pro každé racionální číslo \(r\) jednoznačně, přestože lze číslo \(r\) zapsat ve tvaru zlomku nekonečně mnoha způsoby. Pokud totiž číslo \(r\) vyjádříme zlomkem v základním tvaru jako \(\displaystyle \frac {m} {n}\), kde \(m \in \mathbb Z\), \(n \in \mathbb N\), pak pro libovolné jiné vyjádření téhož racionálního čísla (za předpokladu, že \(t > 0\)) platí:
\(\displaystyle \frac {\, s \,} {t} = \frac {\, p \cdot m \,} {p \cdot n}\), kde \(s \in \mathbb Z\) a \(t\), \(p \in \mathbb N\)
Odtud lze vyjádřit:
\(\displaystyle \large a^{\LARGE \frac {s} {t}} = \sqrt[\Large t \,]{\large a^{\,s}} = \sqrt[\LARGE p \, \cdot n \,]{\large a^{\, p \cdot m}} = \sqrt[\Large n \,]{\large a^m} = \large a^{\Large \frac {m}{n}}\)
Příklad 2.13
| a) \(\displaystyle \sqrt[\large 3 \,]{6^4 \;}\) | b) \(\displaystyle \sqrt[\large 5 \,]{12^2 \;}\) | c) \(\displaystyle \sqrt{6^5 \;}\) | d) \(\displaystyle \sqrt[\large 4 \,]{0,01 \;}\) |
Řešení
a) \(\displaystyle \sqrt[\large 3 \,]{6^4 \;} = 6^{\Large \frac {4} {3}}\)
b) \(\displaystyle \sqrt[\large 5 \,]{12^2 \;} = 12^{\Large \frac {2} {5}}\)
c) \(\displaystyle \sqrt{6^5 \;} = 6^{\Large \frac {5} {2}}\)
d) \(\displaystyle \sqrt[\large 4 \,]{0,01 \;} = (0,01)^{\Large \frac {1} {4}}\)
Pro počítání s mocninami s racionálním exponentem platí stejná pravidla, jako pro počítání s mocninami, jejichž mocnitel je celé číslo.
| 1. \(\displaystyle a^k \cdot a^l = a^{k\,+ \,l}\) | 2. \(\displaystyle \left(a^k\right)^l = a^{k \, \cdot \, l}\) | 3. \(\displaystyle \frac {a^k}{a^l} = a^{k \, - \, l}\) |
| 4. \(\displaystyle (a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k\) | 5. \(\displaystyle \left(\frac {a}{b}\right)^k = \frac {a^k}{b^k}\) |
Příklad 2.14
| a) \(\displaystyle \left(\sqrt[\large 7 \,]{\frac {\, 1 \,} {2}\;}\right)^7\) | b) \(\displaystyle \sqrt[\large 6 \,]{4^2 \;} \cdot \sqrt[\large 6 \,]{4^4 \;}\) | c) \(\displaystyle \sqrt[\large 3 \,]{\sqrt{2 \;} \;}\) | d) \(\displaystyle \sqrt[\large 6 \,]{4^9 \;}\) |
Řešení
a) \(\displaystyle \left(\sqrt[\large 7 \,]{\frac {\, 1 \,} {2}\;}\right)^7 =
\left(\frac {\, 1 \,} {2}\right)^{\Large \frac {7} {7}} = \frac {\, 1 \,} {2}\)
b) \(\displaystyle \sqrt[\large 6 \,]{4^2 \;} \cdot \sqrt[\large 6 \,]{4^4 \;} =
4^{\Large \frac {2} {6}} \cdot 4^{\Large \frac {4} {6}} = 4^{\Large \left[\frac {2} {6} + \frac {4} {6}\right]} =
4^{\Large \frac {6} {6}} = 4^1 = 4\)
c) \(\displaystyle \sqrt[\large 3 \,]{\sqrt{2 \;} \;} =
\left(2^{\large \frac {1} {2}}\right)^{\Large \frac {1} {3}} = 2^{\Large \left[\frac {1} {2} \cdot \frac {1} {3}\right]} =
2^{\Large \frac {1 \,} {6}}\)
d) \(\displaystyle \sqrt[\large 6 \,]{4^9 \;} = 4^{\Large \frac {9} {6}} =
4^{\Large \frac {3} {2}} = 4^1 \cdot 4^{\Large \frac {1} {2}} = 4 \cdot 2 = 8\)
Tyto úlohy jsme již řešili pomocí pravidel pro odmocniny v příkladu 2.10.
Příklad 2.15
| a) \(\displaystyle \sqrt[\large 5 \,]{a \;} \cdot \sqrt{a^3 \;}\) | b) \(\displaystyle \sqrt[\large 4 \,]{a \cdot \sqrt[\large 3 \,]{a \;} \;}\) |
Řešení
a) \(\displaystyle \sqrt[\large 5 \,]{a \;} \cdot \sqrt{a^3 \;} =
a^{\Large \frac {1} {5}} \cdot a^{\Large \frac {3} {2}} = a^{\Large \frac {2 \,+ \,15} {10}} =
a^{\Large \frac {17} {10}} = \sqrt[\large 10 \,]{a^{17} \;}\)
b) \(\displaystyle \sqrt[\large 4 \,]{a \cdot \sqrt[\large 3 \,]{a \;} \;} =
\sqrt[\large 4 \,]{a \cdot a^{\Large \frac {1} {3}}} = \left(a \cdot a^{\Large \frac {1} {3}} \right)^{\Large \frac {1} {4}} =
a^{\Large \left[1 \cdot \frac {1} {4}\right]} \cdot a^{\Large \left[\frac {1} {3} \cdot \frac {1} {4}\right]} =
a^{\Large \frac {1} {4}} \cdot a^{\Large \frac {1} {12}} = a^{\Large \frac {3 \, + \,1} {12}} =
a^{\Large \frac {4} {12}} = a^{\Large \frac {1} {3}} = \sqrt[\large 3 \,]{a \;}\)
Tyto úlohy jsme již řešili pomocí pravidel pro odmocniny v příkladu 2.11.
Cvičení k této části.
