Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSmath.js
\begin{align} \end{align}


2.4 Mocniny s racionálním mocnitelem

Z předcházejícího výkladu umíme počítat s mocninami s celým mocnitelem. Zároveň víme, že každé racionální číslo lze vyjádřit ve tvaru zlomku \displaystyle \frac {m} {n}, kde m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N. Lze tedy rozšířit definici mocniny i na racionální exponent? Má smysl zápis \displaystyle a^{\Large \frac {m} {n}}?

Pravidla pro počítání s odmocninami možná některým připomněla pravidla pro mocniny. Podívejme se tedy, zda mezi mocninami a odmocninami existuje souvislost. Pro libovolné kladné reálné číslo a si zvolme např. \sqrt[\large 3 \,]{a^{- \,12}}. Podle výše zmíněných pravidel může tuto odmocninu upravit:

\displaystyle \sqrt[\large 3 \,]{a^{\, - \,12}\;} = \sqrt[\large 3 \,]{\left(a^{\, - \,4}\right)^3 \;} = a^{\,- \, 4}

\displaystyle \sqrt[\large 3 \,]{a^{\, - \, 12}\;} = a^{\, - \, 4} = a^{\Large - \frac {12} {3}}

Zdá se tedy, že pro libovolné m = k \cdot n, kde m, k \in \mathbb Z, n \in \mathbb N a pro všechna kladná reálná čísla a platí:

\displaystyle \sqrt[\large n \,]{a^{\large \,m}} = \sqrt[\large n \,]{a^{\large \, k \cdot n}} = \sqrt[\large n \,]{\left(a^{\large \,k}\right)^{\large n}} = a^{\large \, k} = a^{\Large \frac {m} {n}}

Zřejmě lze tudíž mocninu s racionálním mocnitelem definovat vztahem:

a^{\Large \frac {m} {n}} = \sqrt[\large n \,]{a^m}

Takto definovaná mocnina s racionálním exponentem je rozšířením mocniny s celým mocnitelem, jelikož pro všechna celá čísla m platí:

\displaystyle a^{\Large \frac {m}{1}} = \sqrt[\large 1 \,]{a^m} = a^m

Definice

Pro každé kladné reálné číslo a, pro každé celé číslo m a pro každé přirozené číslo n definujeme mocninu s racionálním mocnitelem vztahem:

\displaystyle a^{\Large \frac {m} {n}} = \sqrt[\large n \,]{a^m}

Mocnina s racionálním mocnitelem je určena pro každé racionální číslo r jednoznačně, přestože lze číslo r zapsat ve tvaru zlomku nekonečně mnoha způsoby. Pokud totiž číslo r vyjádříme zlomkem v základním tvaru jako \displaystyle \frac {m} {n}, kde m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N, pak pro libovolné jiné vyjádření téhož racionálního čísla (za předpokladu, že t > 0) platí:

\displaystyle \frac {\, s \,} {t} = \frac {\, p \cdot m \,} {p \cdot n}, kde s \in \mathbb Z a t, p \in \mathbb N

Odtud lze vyjádřit:

\displaystyle \large a^{\LARGE \frac {s} {t}} = \sqrt[\Large t \,]{\large a^{\,s}} = \sqrt[\LARGE p \, \cdot n \,]{\large a^{\, p \cdot m}} = \sqrt[\Large n \,]{\large a^m} = \large a^{\Large \frac {m}{n}}

Příklad 2.13

Zapiš ve tvaru mocniny s racionálním mocnitelem:
a) \displaystyle \sqrt[\large 3 \,]{6^4 \;} b) \displaystyle \sqrt[\large 5 \,]{12^2 \;} c) \displaystyle \sqrt{6^5 \;} d) \displaystyle \sqrt[\large 4 \,]{0,01 \;}

Řešení

a) \displaystyle \sqrt[\large 3 \,]{6^4 \;} = 6^{\Large \frac {4} {3}}

b) \displaystyle \sqrt[\large 5 \,]{12^2 \;} = 12^{\Large \frac {2} {5}}

c) \displaystyle \sqrt{6^5 \;} = 6^{\Large \frac {5} {2}}

d) \displaystyle \sqrt[\large 4 \,]{0,01 \;} = (0,01)^{\Large \frac {1} {4}}


Pro počítání s mocninami s racionálním exponentem platí stejná pravidla, jako pro počítání s mocninami, jejichž mocnitel je celé číslo.

Pro každá dvě kladná reálná čísla a, b a pro každá racionální čísla k, l platí:
1. \displaystyle a^k \cdot a^l = a^{k\,+ \,l} 2. \displaystyle \left(a^k\right)^l = a^{k \, \cdot \, l} 3. \displaystyle \frac {a^k}{a^l} = a^{k \, - \, l}
4. \displaystyle (a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k 5. \displaystyle \left(\frac {a}{b}\right)^k = \frac {a^k}{b^k}

Příklad 2.14

Nejprve zapiš ve tvaru mocniny s racionálním exponentem, poté zjednoduš:
a) \displaystyle \left(\sqrt[\large 7 \,]{\frac {\, 1 \,} {2}\;}\right)^7 b) \displaystyle \sqrt[\large 6 \,]{4^2 \;} \cdot \sqrt[\large 6 \,]{4^4 \;} c) \displaystyle \sqrt[\large 3 \,]{\sqrt{2 \;} \;} d) \displaystyle \sqrt[\large 6 \,]{4^9 \;}

Řešení

a) \displaystyle \left(\sqrt[\large 7 \,]{\frac {\, 1 \,} {2}\;}\right)^7 = \left(\frac {\, 1 \,} {2}\right)^{\Large \frac {7} {7}} = \frac {\, 1 \,} {2}

b) \displaystyle \sqrt[\large 6 \,]{4^2 \;} \cdot \sqrt[\large 6 \,]{4^4 \;} = 4^{\Large \frac {2} {6}} \cdot 4^{\Large \frac {4} {6}} = 4^{\Large \left[\frac {2} {6} + \frac {4} {6}\right]} = 4^{\Large \frac {6} {6}} = 4^1 = 4

c) \displaystyle \sqrt[\large 3 \,]{\sqrt{2 \;} \;} = \left(2^{\large \frac {1} {2}}\right)^{\Large \frac {1} {3}} = 2^{\Large \left[\frac {1} {2} \cdot \frac {1} {3}\right]} = 2^{\Large \frac {1 \,} {6}}

d) \displaystyle \sqrt[\large 6 \,]{4^9 \;} = 4^{\Large \frac {9} {6}} = 4^{\Large \frac {3} {2}} = 4^1 \cdot 4^{\Large \frac {1} {2}} = 4 \cdot 2 = 8

Tyto úlohy jsme již řešili pomocí pravidel pro odmocniny v příkladu 2.10.

Příklad 2.15

Vyjádři ve tvaru jediné odmocniny za předpokladu, že a > 0:
a) \displaystyle \sqrt[\large 5 \,]{a \;} \cdot \sqrt{a^3 \;} b) \displaystyle \sqrt[\large 4 \,]{a \cdot \sqrt[\large 3 \,]{a \;} \;}

Řešení

a) \displaystyle \sqrt[\large 5 \,]{a \;} \cdot \sqrt{a^3 \;} = a^{\Large \frac {1} {5}} \cdot a^{\Large \frac {3} {2}} = a^{\Large \frac {2 \,+ \,15} {10}} = a^{\Large \frac {17} {10}} = \sqrt[\large 10 \,]{a^{17} \;}

b) \displaystyle \sqrt[\large 4 \,]{a \cdot \sqrt[\large 3 \,]{a \;} \;} = \sqrt[\large 4 \,]{a \cdot a^{\Large \frac {1} {3}}} = \left(a \cdot a^{\Large \frac {1} {3}} \right)^{\Large \frac {1} {4}} = a^{\Large \left[1 \cdot \frac {1} {4}\right]} \cdot a^{\Large \left[\frac {1} {3} \cdot \frac {1} {4}\right]} = a^{\Large \frac {1} {4}} \cdot a^{\Large \frac {1} {12}} = a^{\Large \frac {3 \, + \,1} {12}} = a^{\Large \frac {4} {12}} = a^{\Large \frac {1} {3}} = \sqrt[\large 3 \,]{a \;}

Tyto úlohy jsme již řešili pomocí pravidel pro odmocniny v příkladu 2.11.


Cvičení k této části.