Zavedení komplexních čísel
Abychom mohli vyřešit také kvadratické rovnice, které nemají reálné řešení, budeme muset nejprve zavést nový číselný obor, obor komplexních čísel.
Definice
Komplexní číslo x definujeme jako uspořádanou dvojici [x_1;x_2], kde x_1, x_2 \in \mathbb{R}; x_1 nazýváme reálnou částí a x_2 imaginární částí komplexního čísla x. Množinu všech komplexních čísel značíme \mathbb{C}.
Poznámka
Komplexní čísla obvykle označujeme malým písmenem, např. x, y, a, ...
Poznámka
Zápisem \mathrm{Re}\, x značíme reálnou část a zápisem \mathrm{Im}\, x imaginární část komplexního čísla x.
Je-li dáno komplexní číslo x=[x_1;x_2], potom \mathrm{Re}\, x = x_1 a \mathrm{Im}\, x = x_2.
Definice
Dvě komplexní čísla x=[x_1;x_2] a y=[y_1;y_2] jsou si rovna právě tehdy, když jsou si rovny jejich reálné i imaginární části, tedy
x=y \iff (\mathrm{Re}\, x=\mathrm{Re}\, y \land \mathrm{Im}\, x=\mathrm{Im}\, y) \iff (x_1=y_1 \land x_2=y_2).
Úlohy
-
Určete reálnou a imaginární část následujících komplexních čísel:
-
a=[0;0]
-
b=[-5;0]
-
c=\left[0;\sqrt{3}\right]
-
d=\left[7;-\dfrac{3}{2}\right]
-
-
Určete komplexní číslo x, pro které platí: \mathrm{Re}\, x=-2\sqrt{2},\; \mathrm{Im}\, x=7{,}15.
-
Uveďte tři různá komplexní čísla, která mají:
-
stejnou reálnou část
-
stejnou imaginární část
-
-
Uveďte komplexní číslo, jehož reálná i imaginární část je číslo iracionální.
-
Jsou dána komplexní čísla a=[x-5;-7], b=[-2;y+1]. Určete reálná čísla x a y tak, aby platilo a=b.
