\begin{align} \end{align}

Zavedení komplexních čísel

Abychom mohli vyřešit také kvadratické rovnice, které nemají reálné řešení, budeme muset nejprve zavést nový číselný obor, obor komplexních čísel.

Definice

Komplexní číslo \(x\) definujeme jako uspořádanou dvojici \([x_1;x_2]\), kde \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\); \(x_1\) nazýváme reálnou částí a \(x_2\) imaginární částí komplexního čísla \(x\). Množinu všech komplexních čísel značíme \(\mathbb{C}\).

Poznámka

Komplexní čísla obvykle označujeme malým písmenem, např. \(x\), \(y\), \(a\), ...

Poznámka

Zápisem \(\mathrm{Re}\, x\) značíme reálnou část a zápisem \(\mathrm{Im}\, x\) imaginární část komplexního čísla \(x\).

Je-li dáno komplexní číslo \(x=[x_1;x_2]\), potom \(\mathrm{Re}\, x = x_1\) a \(\mathrm{Im}\, x = x_2\).

Definice

Dvě komplexní čísla \(x=[x_1;x_2]\) a \(y=[y_1;y_2]\) jsou si rovna právě tehdy, když jsou si rovny jejich reálné i imaginární části, tedy

\(x=y \iff (\mathrm{Re}\, x=\mathrm{Re}\, y \land \mathrm{Im}\, x=\mathrm{Im}\, y) \iff (x_1=y_1 \land x_2=y_2)\).

Úlohy

  1. Určete reálnou a imaginární část následujících komplexních čísel:

    • \(a=[0;0]\) Zobrazit řešení

    • \(b=[-5;0]\) Zobrazit řešení

    • \(c=\left[0;\sqrt{3}\right]\) Zobrazit řešení

    • \(d=\left[7;-\dfrac{3}{2}\right]\) Zobrazit řešení

  2. Určete komplexní číslo \(x\), pro které platí: \(\mathrm{Re}\, x=-2\sqrt{2},\; \mathrm{Im}\, x=7{,}15\).

    Zobrazit řešení

  3. Uveďte tři různá komplexní čísla, která mají:

    • stejnou reálnou část Zobrazit řešení

    • stejnou imaginární část Zobrazit řešení

  4. Uveďte komplexní číslo, jehož reálná i imaginární část je číslo iracionální.

    Zobrazit řešení

  5. Jsou dána komplexní čísla \(a=[x-5;-7]\), \(b=[-2;y+1]\). Určete reálná čísla \(x\) a \(y\) tak, aby platilo \(a=b\).

    Zobrazit řešení