Najděte v komplexní rovině obrazy všech komplexních čísel \(z\), pro něž platí:
\(|z|=3\)
Hledáme všechna taková komplexní čísla \(z\), jejichž obrazy v komplexní rovině mají vzdálenost od počátku rovnu 3. Množina obrazů řešení tvoří v komplexní rovině kružnici se středem v počátku a poloměrem 3.
\(|z-1+4i|=2\)
Výraz \(|z-1+4i|\) můžeme upravit na tvar \(|z-(1-4i)|\). Hledáme tedy všechna taková komplexní čísla \(z\), jejichž obrazy v komplexní rovině mají od obrazu čísla \(1-4i\) vzdálenost rovnu 2. Množina obrazů řešení tvoří v komplexní rovině kružnici se středem v bodě \([1;-4]\) a poloměrem 2.
\(|z+3-2i|\leq3\)
Výraz \(|z+3-2i|\) můžeme upravit na tvar \(|z-(-3+2i)|\). Hledáme tedy všechna taková komplexní čísla \(z\), jejichž obrazy v komplexní rovině mají od obrazu čísla \(-3+2i\) vzdálenost nejvýše 3. Množina obrazů řešení tvoří v komplexní rovině kruh se středem v bodě \([-3;2]\) a poloměrem 3.
\(1\leq|z-1-3i|\leq2\)
Podobně jako v předchozí úloze můžeme výraz \(|z-1-3i|\) upravit na tvar \(|z-(1+3i)|\). Hledáme tedy všechna taková komplexní čísla \(z\), jejichž obrazy v komplexní rovině mají od obrazu čísla \(1+3i\) vzdálenost nejméně 1 a nejvýše 2. Množina obrazů řešení tvoří v komplexní rovině mezikruží vymezené kružnicemi se středem \([1;3]\) a poloměry 1 a 2.
\(|z+7-3i|=|z+4+5i|\)
Rovnici upravíme na tvar \(|z-(-7+3i)|=|z-(-4-5i)|\). Hledáme všechna komplexní čísla \(z\), jejichž obrazy v komplexní rovině mají od obrazu \(A[-7;3]\) čísla \(-7+3i\) stejnou vzdálenost jako od obrazu \(B[-4;-5]\) čísla \(-4-5i\). Množina obrazů řešení tvoří v komplexní rovině osu úsečky \(AB\).
\(|z-2-2i|\leq|z+1+i|\)
Nerovnici upravíme na tvar \(|z-(2+2i)|\leq|z-(-1-i)|\). Hledáme tedy všechna komplexní čísla \(z\), jejichž obrazy v komplexní rovině mají od obrazu \(A[2;2]\) čísla \(2+2i\) vzdálenost menší nebo rovnu vzdálenosti od obrazu \(B[-1;-1]\) čísla \(-1-i\). Množina obrazů řešení tvoří v komplexní rovině polorovinu, jejíž hraniční přímka je osou úsečky \(AB\).
Je-li \(|\mathrm{Im}\, z| < 3\), potom \(-3 < \mathrm{Im}\, z < 3\). Množina obrazů řešení tvoří v komplexní rovině „otevřený“ obdélník (obdélník bez hraničních úseček, tj. stran).
Nerovnice upravíme na tvar \(|z-(-1-4i)|\geq5\) a \(|z-(-1-4i)|\leq|z-(-2-i)|\).
První nerovnice říká, že hledáme komplexní čísla, jejichž obrazy mají od obrazu \(A[-1;-4]\) komplexního čísla \(-1-4i\) vzdálenost větší nebo rovnu 5.
Druhá nerovnice říká, že hledáme komplexní čísla, jejichž obrazy mají od obrazu \(A[-1;-4]\) komplexního čísla \(-1-4i\) vzdálenost menší nebo rovnu vzdálenosti od obrazu \(B[-2;-1]\) komplexního čísla \(-2-i\).
V zadání je uvedeno "a současně", hledáme tedy komplexní čísla, pro která platí současně obě dvě podmínky. Řešením je proto průnik dvou množin (v obrázku vyšrafován červeně a současně modře). V zadaných nerovnicích je \(\geq\) a \(\leq\), řešení tedy obsahuje i hranice průniku.
\(|z-2|+|z+1|=8\)
Rovnici upravíme na tvar \(|z-(2+0i)|+|z-(-1+0i)|=8\). Hledáme tedy komplexní čísla, jejichž obrazy mají součet vzdáleností od obrazu \(A[2;0]\) čísla \(2+0i\) a obrazu \(B[-1;0]\) čísla \(-1+0i\) roven 8. Množina obrazů řešení tvoří v komplexní rovině elipsu s ohnisky \(A\) a \(B\) a hlavní poloosou délky 4.
\(|z-2+3i|+|z+1-i|=10\)
Rovnici upravíme na tvar \(|z-(2-3i)|+|z-(-1+i)|=10\). Hledáme tedy komplexní čísla, jejichž obrazy mají součet vzdáleností od obrazu \(A[2;-3]\) čísla \(2-3i\) a obrazu \(B[-1;1]\) čísla \(-1+i\) roven 10. Množina obrazů řešení tvoří v komplexní rovině elipsu s ohnisky \(A\) a \(B\) a hlavní poloosou délky 5.
\(\bigl\lvert |z-2+4i|-|z+3+4i| \bigr\rvert=6\)
Rovnici upravíme na tvar \(\bigl\lvert |z-(2-4i)|-|z-(-3-4i)| \bigr\rvert=6\). Hledáme tedy komplexní čísla, jejichž obrazy mají absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností od obrazu \(A[2;-4]\) čísla \(2-4i\) a obrazu \(B[-3;-4]\) čísla \(-3-4i\) rovnu 6. Množina obrazů řešení tvoří v komplexní rovině hyperbolu s ohnisky \(A\) a \(B\) a hlavní poloosou délky 3.
\(\bigl\lvert |z-2+3i|-|z+1-i| \bigr\rvert=4\)
Rovnici upravíme na tvar \(\bigl\lvert |z-(2-3i)|-|z-(-1+i)| \bigr\rvert=4\). Hledáme tedy komplexní čísla, jejichž obrazy mají absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností od obrazu \(A[2;-3]\) čísla \(2-3i\) a obrazu \(B[-1;1]\) čísla \(-1+i\) rovnu 10. Množina obrazů řešení tvoří v komplexní rovině hyperbolu s ohnisky \(A\) a \(B\) a hlavní poloosou délky 2.
\(|z-2+i|=|\mathrm{Re}\, z|\)
Rovnici převedeme do tvaru \(|z-(2-i)|=|\mathrm{Re}\, z|\). Absolutní hodnota reálné části komplexního čísla odpovídá vzdálenosti jeho obrazu od imaginární osy. Hledáme tedy komplexní čísla, jejichž obrazy mají vzdálenost od obrazu \(A[2;-1]\) čísla \(2-i\) rovnu vzdálenosti od imaginární osy. Množina obrazů řešení tvoří parabolu, jejímž ohniskem je bod \(A\) a řídicí přímkou je imaginární osa.
