\begin{align}
\end{align}
Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty
Zatím jsme se setkali s kvadratickými rovnicemi s reálnými koeficienty. Nyní se podíváme, jak lze řešit v \(\mathbb{C}\) kvadratické rovnice, jejichž koeficienty patří do množiny všech komplexních čísel.
Mějme kvadratickou rovnici \(ax^2+bx+c=0, \; a,b,c\in\mathbb{C}, \; a\ne 0\).
Nejdříve provedeme umělý krok – rovnici vynásobíme číslem \(4a\).
\(4a^2x^2+4abx+4ac=0\)
\((2ax)^2+2\cdot 2ax\cdot b+4ac=0\)
První dva členy na levé straně rovnice doplníme na čtverec.
\((2ax)^2+2\cdot 2ax\cdot b \color{green}{+b^2-b^2}+4ac=0\)
\((2ax+b)^2-b^2+4ac=0\)
Použijeme substituce:
\(y=2ax+b\)
\(t=b^2-4ac\)
Z rovnice \((2ax+b)^2-b^2+4ac=0\) tedy vyplývá:
\(y^2-t=0\)
\(y^2=t\)
Pro nalezení kořenů původní rovnice musíme nejdříve v \(\mathbb{C}\) vypočítat kořeny rovnice \(y^2=t\), což jsou druhé odmocniny z komplexního čísla \(t\), a následně provést zpětnou substituci.
\(y=2ax+b\)
\(x=\dfrac{y-b}{2a}\)
Rovnice \(y^2=t\) má dva různé kořeny \(y_1\), \(y_2\), či jeden dvojnásobný kořen. Z toho plyne, že i původní kvadratická rovnice má dva různé kořeny \(x_1\), \(x_2\), či jeden dvojnásobný kořen.
Kvadratická rovnice \(ax^2+bx+c=0\), kde \(a,b,c\in\mathbb{C}\), \(a\ne 0\), má v \(\mathbb{C}\) právě dva kořeny, nebo jeden dvojnásobný kořen.
Poznámka
V této kapitole budeme dolními indexy číslovat kořeny rovnice a pomocné substituce (nikoliv reálnou a imaginární část komplexního čísla).
Příklad
Najděte řešení rovnice \(x^2+\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)x+\dfrac{3}{4}i=0\), \(x\in\mathbb{C}\).
Řešení
Rovnici vynásobíme číslem \(4a=4\).
\(x^2+\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)x+\dfrac{3}{4}i=0 \hspace{25pt} \Bigg|\cdot 4\)
\(4x^2+4\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)x+3i=0\)
\((2x)^2+2\cdot 2x\cdot\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)+3i=0\)
První dva členy na levé straně rovnice doplníme na čtverec.
\((2x)^2+2\cdot 2x\cdot\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)\color{green}{+\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)^2-\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)^2}+3i=0\)
\(\left(2x+\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)^2-\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)^2+3i=0\)
\(\left(2x+\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)^2-4i+3i=0\)
\(\left(2x+\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)^2=i\)
Použijeme substituci \(y=2x+\sqrt{2}+\sqrt{2}i\).
\(y^2=i\)
Kořeny této rovnice jsou druhé odmocniny komplexního čísla \(i\).
\(y_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\)
\(y_2=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\)
Zpětnou substitucí vypočítáme \(x\).
\(x=\dfrac{y-\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}\)
\(x_1=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i-\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}i\)
\(x_2=\dfrac{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i-\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}=-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}i\)
Množina všech kořenů rovnice je tedy
\(\boldsymbol{K=\left\{-\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}i;-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}i\right\}}\).
Mějme normovanou kvadratickou rovnici \(x^2+bx+c=0, \; b,c,x\in\mathbb{C}\).
Pokud některý z koeficientů \(b,c\) není reálný, pak kořeny rovnice nejsou komplexně sdružené.
Předchozí tvrzení dokážeme sporem. Předpokládejme, že některý z koeficientů \(b,c\) není reálný a zároveň kořeny kvadratické rovnice jsou komplexně sdružené.
Kořeny označíme \(z_1+z_2i\) a \(z_1-z_2i\), \(z_1,z_2\in\mathbb{R}\).
Potom lze kvadratickou rovnici zapsat ve tvaru:
\((x-(z_1+z_2i))(x-(z_1-z_2i))=0\)
Rovnici upravíme:
\(x^2-2z_1x+{z_1}^2+{z_2}^2=0\)
Tedy \(b=-2z_1\in\mathbb{R}\) a \(c={z_1}^2+{z_2}^2\in\mathbb{R}\).
Koeficienty rovnice jsou reálné, což je ve sporu s předpokladem.
Tvrzení tedy platí.
V následujícím appletu můžete měnit polohy obrazů komplexních čísel \(a,b,c\) a sledovat, jak ovlivňují řešení kvadratické rovnice \(ax^2+bx+c=0\). Applet můžete také využít ke kontrole vypočítaných kořenů rovnic v následujících úlohách.
Úlohy
-
Řešte rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\):
-
\(x^2+(3-4i)x-12i=0\)
Rovnici vynásobíme číslem \(4a=4\).
\(4x^2+4(3-4i)x-48i=0\)
\((2x)^2+2\cdot2x\cdot(3-4i)-48i=0\)
První dva členy na levé straně rovnice doplníme na čtverec.
\((2x)^2+2\cdot2x\cdot(3-4i)\color{green}{+(3-4i)^2-(3-4i)^2}-48i=0\)
\((2x+3-4i)^2-(3-4i)^2-48i=0\)
\((2x+3-4i)^2=-7+24i\)
Použijeme substituci \(y=2x+3-4i\).
\(y^2=-7+24i\)
\(y_1=3+4i\)
\(y_2=-3-4i\)
Zpětnou substitucí vypočítáme \(x\).
\(x=\dfrac{y-3+4i}{2}\)
\(x_1=\dfrac{3+4i-3+4i}{2}=4i\)
\(x_2=\dfrac{-3-4i-3+4i}{2}=-3\)
\(\boldsymbol{K=\{4i;-3\}}\)
-
\(x^2+x+4-2i=0\)
Rovnici vynásobíme číslem \(4a=4\).
\(4x^2+4x+(16-8i)=0\)
\((2x)^2+2\cdot2x+(16-8i)=0\)
První dva členy na levé straně rovnice doplníme na čtverec.
\((2x)^2+2\cdot2x\color{green}{+1-1}+(16-8i)=0\)
\((2x+1)^2-1+(16-8i)=0\)
\((2x+1)^2=-15+8i\)
Použijeme substituci \(y=2x+1\).
\(y^2=-15+8i\)
\(y_1=1+4i\)
\(y_2=-1-4i\)
Zpětnou substitucí vypočítáme \(x\).
\(x=\dfrac{y-1}{2}\)
\(x_1=\dfrac{1+4i-1}{2}=2i\)
\(x_2=\dfrac{-1-4i-1}{2}=-1-2i\)
\(\boldsymbol{K=\{2i;-1-2i\}}\)
-
\(x^2+\left(2\sqrt{2}-2i\right)x+\left(-7-2\sqrt{2}i\right)=0\)
Rovnici vynásobíme číslem \(4a=4\).
\(4x^2+4\left(2\sqrt{2}-2i\right)x+\left(-28-8\sqrt{2}i\right)=0\)
\((2x)^2+2\cdot2x\cdot\left(2\sqrt{2}-2i\right)+\left(-28-8\sqrt{2}i\right)=0\)
První dva členy na levé straně rovnice doplníme na čtverec.
\((2x)^2+2\cdot2x\cdot\left(2\sqrt{2}-2i\right)\color{green}{+\left(2\sqrt{2}-2i\right)^2-\left(2\sqrt{2}-2i\right)^2}+\left(-28-8\sqrt{2}i\right)=0\)
\(\left(2x+2\sqrt{2}-2i\right)^2-\left(2\sqrt{2}-2i\right)^2+\left(-28-8\sqrt{2}i\right)=0\)
\(\left(2x+2\sqrt{2}-2i\right)^2=32\)
Použijeme substituci \(y=2x+2\sqrt{2}-2i\).
\(y^2=32\)
\(y_1=4\sqrt{2}\)
\(y_2=-4\sqrt{2}\)
Zpětnou substitucí vypočítáme \(x\).
\(x=\dfrac{y-2\sqrt{2}+2i}{2}\)
\(x_1=\dfrac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2i}{2}=\sqrt{2}+i\)
\(x_2=\dfrac{-4\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2i}{2}=-3\sqrt{2}+i\)
\(\boldsymbol{K=\left\{\sqrt{2}+i;-3\sqrt{2}+i\right\}}\)
-
\(2x^2+(-3+3i)x+(-3-i)=0\)
Rovnici vynásobíme číslem \(4a=8\).
\(16x^2+8(-3+3i)x+(-24-8i)=0\)
\((4x)^2+2\cdot4x\cdot(-3+3i)+(-24-8i)=0\)
První dva členy na levé straně rovnice doplníme na čtverec.
\((4x)^2+2\cdot2x\cdot(-3+3i)\color{green}{+(-3+3i)^2-(-3+3i)^2}+(-24-8i)=0\)
\((4x+(-3+3i))^2-(-3+3i)^2+(-24-8i)=0\)
\((4x-3+3i)^2=24-10i\)
Použijeme substituci \(y=4x-3+3i\).
\(y^2=24-10i\)
Zpětnou substitucí vypočítáme \(x\).
\(x=\dfrac{y+3-3i}{4}\)
\(x_1=\dfrac{-5+i+3-3i}{4}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i\)
\(x_2=\dfrac{5-i+3-3i}{4}=2-i\)
\(\boldsymbol{K=\left\{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i;2-i\right\}}\)
-
\(x^2+(-2-2i)x+2i=0\)
Rovnici vynásobíme číslem \(4a=4\).
\(4x^2+4(-2-2i)x+8i=0\)
\((2x)^2+2\cdot2x\cdot(-2-2i)+8i=0\)
První dva členy na levé straně rovnice doplníme na čtverec.
\((2x)^2+2\cdot2x\cdot(-2-2i)\color{green}{+(-2-2i)^2-(-2-2i)^2}+8i=0\)
\((2x+(-2-2i))^2-(-2-2i)^2+8i=0\)
\((2x-2-2i)^2-8i+8i=0\)
\((2x-2-2i)^2=0\)
\((2x-2-2i)(2x-2-2i)=0\)
Rovnice má dvojnásobný kořen \(x_{1,2}=1+i\).
\(\boldsymbol{K=\left\{1+i\right\}}\)
-
Jakou vlastnost mají kořeny kvadratické rovnice \(ax^2+bx+c=0, \; a,b,c\in\mathbb{C}, \; a\ne 0\), pokud \(b=0\)? K pozorování použijte applet.
Pro kořeny rovnice \(ax^2+c=0, \; a,c\in\mathbb{C}, \; a\ne 0\) platí: \(x^2=-\dfrac{c}{a}\).
Kořeny rovnice jsou tedy druhé odmocniny z komplexního čísla \(-\dfrac{c}{a}\). Jsou to opačná čísla, jejich obrazy jsou středově souměrné podle počátku.
