\begin{align} \end{align}

Absolutní hodnota komplexního čísla

Absolutní hodnota reálného čísla představuje jeho vzdálenost od nuly. Podobně zavádíme absolutní hodnotu čísla komplexního.

Definice

Absolutní hodnota komplexního čísla \(z\) je vzdálenost jeho obrazu od počátku \(O=[0;0]\) v komplexní rovině. Značíme ji \(|z|\).

Jak je vidět v následujícím appletu, vzdálenost obrazu komplexního čísla od počátku kartézské soustavy souřadnic je rovna délce přepony pravoúhlého trojúhelníku \(OZX\) (kde \(O\) je počátek, \(Z\) obraz komplexního čísla \(z\) a bod \(X\) pata kolmice spuštěné z bodu \(Z\) na osu \(x\)). Odvěsny tohoto trojúhelníku mají délky odpovídající absolutním hodnotám souřadnic bodu, který je obrazem daného komplexního čísla v komplexní rovině. (Číselné hodnoty v appletu jsou zaokrouhlené na dvě desetinná místa.)

Absolutní hodnotu komplexního čísla tedy můžeme spočítat pomocí Pythagorovy věty:

Absolutní hodnota komplexního čísla \(z=[z_1;z_2]\) je reálné číslo \(|z|\), pro které platí:

\(|z|=\sqrt{{z_1}^2+{z_2}^2}\)

Definice

Každé komplexní číslo, které má absolutní hodnotu rovnu jedné, nazýváme komplexní jednotkou.

Příklad

Určete absolutní hodnotu komplexního čísla \(z=[-6;4]\).

Řešení

Reálnou a imaginární část komplexního čísla \(z\) dosadíme do vzorce \(|z|=\sqrt{{z_1}^2+{z_2}^2}\) a vypočítáme:

\(|z|=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\cdot\sqrt{13}\)

Úlohy

  1. Určete absolutní hodnotu následujících komplexních čísel:

    • \(a=[0;0]\)

      Zobrazit řešení

    • \(b=[0;4]\)

      Zobrazit řešení

    • \(c=[3\pi;-4\pi]\)

    • \(d=\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}\right]\)

  2. Definovali jsme si komplexní jednotku jako komplexní číslo s absolutní hodnotou rovnou jedné. Kolik takových komplexních čísel je? Jakou množinu tvoří jejich obrazy? K pozorování lze použít následující applet, v němž můžete pohybovat obrazem komplexního čísla \(z\), jehož vzdálenost od počátku je rovna \(1\).

    Zobrazit řešení

  3. Jakou množinu tvoří obrazy komplexních čísel, jejichž absolutní hodnota je rovna \(2{,}5\)?

    Zobrazit řešení

  4. Jakou množinu tvoří obrazy komplexních čísel, jejichž absolutní hodnota je rovna \(-3\)?

    Zobrazit řešení