Goniometrický tvar komplexního čísla
Obraz Z nenulového komplexního čísla \(z=[a;b]\) v komplexní rovině můžeme určit pomocí jeho vzdálenosti \(|z|\) od počátku O a velikosti orientovaného úhlu \(\alpha\) mezi kladnou poloosou x a polopřímkou OZ, kde kladná poloosa x je počátečním ramenem.
Nejdříve se podíváme na komplexní čísla, jejichž obrazy leží na jednotkové kružnici se středem v počátku \(O\). Tyto body jsou obrazy komplexních jednotek. Jejich x-ové souřadnice jsou rovny \(\cos{\alpha}\) a y-ové souřadnice rovny \(\sin{\alpha}\). Komplexní jednotku \(j=j_1+j_2i\) tedy můžeme vyjádřit takto:
\(j=\cos{\alpha}+i \sin{\alpha}\)
Goniometrický tvar nenulového komplexního čísla \(z\) můžeme odvodit pomocí podobnosti dvou trojúhelníků s přeponami \(OJ\) a \(OZ\):
Z appletu můžeme vypozorovat následující vztah pro nenulové komplexní číslo \(z\):
\(z=\color{green}{a}+\color{blue}{b}i=|z|\color{green}{\cos\alpha}+|z|i \color{blue}{\sin\alpha}=|z|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{blue}{\sin\alpha})\)
Definice
Goniometrický tvar nenulového komplexního čísla \(z\) je výraz \(|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha})\). Reálné číslo \(\alpha\) se nazývá argument komplexního čísla \(z\).
Poznámka
Goniometrické funkce jsou periodické, proto není argument komplexního čísla určen jednoznačně. Má-li komplexní číslo argument \(\alpha\), má také argument \(\alpha+2k\pi\), kde \(k\in\mathbb{Z}\).
Obvykle používáme základní argument \(\alpha\in\langle0;2\pi)\).
Poznámka
Velikost orientovaného úhlu \(\alpha\) uvádíme v radiánech nebo ve stupních.
Rovnost komplexních čísel v goniometrickém tvaru
Z kapitoly o komplexní rovině víme, že dvě komplexní čísla jsou si rovna právě tehdy, když jejich obrazy v komplexní rovině splývají. Z toho plyne vztah pro rovnost komplexních čísel v goniometrickým tvaru.
Dvě nenulová komplexní čísla \(x=|x|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{blue}{\sin\alpha})\) a \(y=|y|(\color{green}{\cos\beta}+i \color{blue}{\sin\beta})\) jsou si rovna právě tehdy, když jsou si rovny jejich absolutní hodnoty a jejich argumenty se liší o \(k\cdot 2\pi, \, k\in\mathbb{Z}\).
\(|x|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{blue}{\sin\alpha})=|y|(\color{green}{\cos\beta}+i \color{blue}{\sin\beta}) \iff |x|=|y| \land \alpha=\beta+k\cdot 2\pi\)
Převod algebraického tvaru na goniometrický tvar
Pro převod nenulového komplexního čísla \(z=a+bi\) v algebraickém tvaru na tvar goniometrický potřebujeme vypočítat jeho absolutní hodnotu (již umíme) a najít jeho argument \(\alpha\). Argument komplexního čísla nalezneme pomocí vztahů odvozených v předchozím appletu:
\(\color{green}{a}=|z|\color{green}{\cos\alpha} \; \Rightarrow\; \color{green}{\cos\alpha}=\dfrac{\color{green}{a}}{|z|}\)
\(\color{blue}{b}=|z|\color{blue}{\sin\alpha} \; \Rightarrow\; \color{blue}{\sin\alpha}=\dfrac{\color{blue}{b}}{|z|}\)
Základní argument \(\alpha\in\langle0;2\pi)\) je vztahy \(\cos\alpha=\dfrac{a}{|z|}\) a \(\sin\alpha=\dfrac{b}{|z|}\) jednoznačně určen.
Příklad
Vyjádřete v goniometrickém tvaru se základním argumentem číslo \(z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\).
Řešení
Víme, že pro argument \(\alpha\) komplexního čísla \(z=a+bi\) platí tyto vztahy:
\(\color{green}{\cos\alpha}=\dfrac{\color{green}{a}}{|z|} \land \color{blue}{\sin\alpha}=\dfrac{\color{blue}{b}}{|z|}\)
Čísla \(a\) a \(b\) známe, dále potřebujeme vypočítat absolutní hodnotu komplexního čísla \(z\):
\(|z|=\sqrt{{\bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)}^2+{\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)}^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{4}{4}}=1\)
Nyní vypočítáme hodnoty kosinu a sinu pro úhel \(\alpha\) a podle nich určíme základní argument komplexního čísla \(z\).
\(\cos\alpha=\dfrac{a}{|z|}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \; \ldots\; \alpha \in \left\{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\right\}\)
\(\sin\alpha=\dfrac{b}{|z|}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2} \; \ldots\; \alpha \in \left\{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right\}\)
Oba vztahy musí platit současně, tedy základní argument \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\) a goniometrický tvar komplexního čísla \(z\) tedy vypadá následovně:
\(z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)=1\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\)
Převod goniometrického tvaru na algebraický tvar
Převod komplexního čísla v goniometrickém tvaru na tvar algebraický je snazší, budeme jen potřebovat vyjádřit hodnoty sinu a kosinu pro daný úhel \(\alpha\).
\(z=|z|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{blue}{\sin\alpha})=|z|\color{green}{\cos\alpha}+|z|\color{blue}{\sin\alpha}\cdot i\)
Příklad
Vyjádřete v algebraickém tvaru komplexní číslo \(z=2\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)\).
Řešení
Nejdříve vypočítáme hodnoty sinu a kosinu úhlu \(\alpha=\dfrac{4\pi}{3}\).
\(\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}\)
\(\sin\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Vypočítané hodnoty dosadíme do goniometrického tvaru a zjednodušíme výraz:
\(z=2\left(-\dfrac{1}{2}+i\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)=-1-\sqrt{3}i\)
Úlohy
-
Nalezněte mezi následujícími komplexními čísly dvojice čísel, která jsou si rovna:
- \(z_1=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)
- \(z_2=3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)
- \(z_3=3\left(\cos\dfrac{7\pi}{3}+i\sin\dfrac{7\pi}{3}\right)\)
- \(z_4=2\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)\)
- \(z_5=2\left(\cos\dfrac{-10\pi}{6}+i\sin\dfrac{-10\pi}{6}\right)\)
- \(z_6=2\left(\cos\dfrac{10\pi}{3}+i\sin\dfrac{10\pi}{3}\right)\)
-
Vyjádřete v goniometrickém tvaru následující komplexní čísla, použijte základní argument \(\alpha\):
-
\(z=2\)
-
\(z=-3i\)
-
\(z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\)
-
\(z=-3\sqrt{3}+3i\)
-
\(z=(4-2i)+(1+7i)\)
-
\(z=(3-i)(-1+3i)\)
-
-
Vyjádřete v algebraickém tvaru následující komplexní čísla:
-
\(z=\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\)
-
\(z=3\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
-