Početní operace s komplexními čísly
V množině komplexních čísel definujeme tyto početní operace:
Definice
Mějme dána komplexní čísla \(x=[x_1;x_2]\) a \(y=[y_1;y_2]\), \(x_1,x_2,y_1,y_2\in\mathbb{R}\).
Součet komplexní čísel \(x\) a \(y\) je komplexní číslo \(x+y=[x_1+y_1;x_2+y_2]\).
Rozdíl komplexní čísel \(x\) a \(y\) je komplexní číslo \(x-y=[x_1-y_1;x_2-y_2]\).
Součin komplexní čísel \(x\) a \(y\) je komplexní číslo \(x \cdot y=[x_1y_1-x_2y_2;x_1y_2+x_2y_1]\).
Podíl komplexní čísel \(x\) a \(y\) je komplexní číslo \(\dfrac{x}{y}=\left[\dfrac{x_1y_1+x_2y_2}{{y_1}^2+{y_2}^2};\dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{{y_1}^2+{y_2}^2}\right]\).
Můžeme si všimnout, že sčítání a odčítání komplexních čísel probíhá po složkách, tj. reálná část součtu je součtem reálných částí, imaginární část součtu je součtem imaginárních částí a obdobně je tomu i u rozdílu.
Poznámka
Součin a podíl komplexních čísel obvykle provádíme pro komplexní čísla v algebraickém tvaru.
V dalších kapitolách se seznámíme s operacemi pro komplexní čísla, která jsou vyjádřena v algebraickém, goniometrickém a exponenciálním tvaru.
Definice
Množina všech komplexních čísel \(\mathbb{C}\) společně s operacemi sčítání a násobení tvoří obor komplexních čísel.
Poznámka
Mějme komplexní čísla \(a=[a_1;a_2]\) a \(b=[b_1;b_2]\).
Pak \(|a-b|=\left|[a_1-b_1;a_2-b_2]\right|=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}\).
Absolutní hodnota rozdílu komplexních čísel tedy představuje vzdálenost jejich obrazů v komplexní rovině.
Význam absolutní hodnoty rozdílu dvou komplexních čísel je možné sledovat v následujícím appletu:
Úlohy
-
Vypočítejte:
-
\(a=[2;3]+[3;4]\)
-
\(b=[-5;6]+\left[2;\dfrac{3}{2}\right]\)
-
\(c=\left[2;\sqrt{3}\right]-\left[5;-\sqrt{3}\right]\)
-
\(d=\left[-6;-\dfrac{7}{2}\right]-\left[6;-\dfrac{3}{4}\right]\)
-
