Řešení rovnic v množině všech komplexních čísel
V této kapitole se budeme zabývat postupy řešení algebraických rovnic v množině všech komplexních čísel.
Definice
Algebraická rovnice \(n\)-tého stupně s neznámou \(x\in\mathbb{C}\) je rovnice, kterou lze převést na tvar
\(a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x + a_0=0, \; a_n\ne 0, \; a_0,\dots,a_n\in\mathbb{C}, \; n\in\mathbb{N}\).
Pokud navíc \(a_n=1\), pak se jedná o algebraickou rovnici v normovaném tvaru.
Pro \(n=1\) se jedná o lineární rovnici, pro \(n=2\) o kvadratickou rovnici a pro \(n=3\) o kubickou rovnici.
O důležité vlastnosti algebraických rovnic pojednává Základní věta algebry.
Základní věta algebry
Každá algebraická rovnice má alespoň jeden komplexní kořen.
Důsledkem této věty je následující poznatek.
Každá algebraická rovnice \(n\)-tého stupně má v množině \(\mathbb{C}\) právě \(n\) kořenů (počítaných včetně násobnosti).
Důkaz Základní věty algebry je složitý a přesahuje rámec této práce, lze ho nalézt v literatuře ([2], [6]).
