\begin{align}
\end{align}
Binomické rovnice
Nyní se podíváme na další typ rovnic, a sice binomické rovnice.
Definice
Binomická rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\) je rovnice tvaru \(ax^n+b=0\), kde \(a,b\in\mathbb{C}\), \(a\ne0\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n>1\).
Pojem binomická rovnice pochází z latinského slova binom, které znamená dvojčlen. Tímto dvojčlenem je míněn výraz na levé straně rovnice \(ax^n+b\).
Pokud binomickou rovnici vydělíme nenulovým číslem \(a\), upravíme ji tím na normovaný tvar \(x^n-c=0\), kde \(c=-\dfrac{b}{a}\). Kořenem rovnice je zjevně každé \(x\), pro které platí \(x^n=c\). To znamená, že \(x\) je \(n\)-tou odmocninou z čísla \(c=-\dfrac{b}{a}\).
Kořeny binomické rovnice \(ax^n+b=0\), kde \(a,b\in\mathbb{C}\), \(a\ne0\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n>1\), jsou všechny \(n\)-té odmocniny z komplexního čísla \(-\dfrac{b}{a}\).
Poznámka
V této kapitole budeme kořeny binomické rovnice označovat symboly \(x_0,x_1,\dots,x_{n-1}\).
Příklad
Najděte řešení rovnice \(27x^3+8=0\), \(x\in\mathbb{C}\).
Řešení
Jedná se o binomickou rovnici \(ax^n+b=0\), kde \(a=27\), \(b=8\).
Rovnici upravíme na normovaný tvar vydělením číslem \(a=27\) a následně odečteme absolutní člen od obou stran rovnice.
\(27x^3+8=0 \hspace{25pt} \Bigg|:27\)
\(x^3+\dfrac{8}{27}=0 \hspace{25pt} \Bigg|-\dfrac{8}{27}\)
\(x^3=-\dfrac{8}{27}\)
Kořenem rovnice jsou všechny třetí odmocniny z komplexního čísla \(-\dfrac{8}{27}\). Číslo \(-\dfrac{8}{27}\) proto převedeme do goniometrického tvaru.
\(-\dfrac{8}{27}=\dfrac{8}{27}(\cos{\pi}+i\sin{\pi})\)
Všechny třetí odmocniny z tohoto čísla jsou:
\(x_k=\dfrac{2}{3}\left(\cos{\dfrac{\pi+2k\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\pi+2k\pi}{3}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2\}\)
\(x_0=\dfrac{2}{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\)
\(x_1=\dfrac{2}{3}\left(\cos{\dfrac{3\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{3}}\right)=\dfrac{2}{3}\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)=-\dfrac{2}{3}\)
\(x_2=\dfrac{2}{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{3}}\right)=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\)
Množina všech kořenů rovnice je tedy
\(\boldsymbol{K=\left\{\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i;-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right\}}\).
Rovnici je také možné vyřešit rozkladem součtu třetích mocnin na součin využitím vzorce \(A^3+B^3=(A+B)\cdot(A^2-AB+B^2)\).
Upravíme tedy rovnici \(27x^3+8=0\) podle tohoto vzorce, kde \(A=3x\) a \(B=2\).
\((3x+2)(9x^2-6x+4)=0\)
Součin na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když je roven nule alespoň jeden z výrazů v závorce.
Z podmínky \(3x+2=0\) plyne kořen \(-\dfrac{2}{3}\).
Rovnice \(9x^2-6x+4=0\) je kvadratická rovnice s reálnými koeficienty a záporným \(D\), z této podmínky tedy plynou další dva kořeny, a sice komplexně sdružená čísla \(\dfrac{1}{3}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\).
Množina všech kořenů rovnice je tedy
\(\boldsymbol{K=\left\{-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i;\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right\}}\).
Poznámka
Binomické rovnice lze řešit pro libovolné \(n\in\mathbb{N}\), tedy do libovolného stupně.
Na následujícím appletu můžete měnit koeficienty \(a,b\) a exponent \(n\) a sledovat, jak ovlivňují řešení binomické rovnice \(ax^n+b=0\).
Můžeme si všimnout, že obrazy řešení této rovnice v komplexní rovině pro \(n>2\) jsou vrcholy pravidelného \(n\)‑úhelníku se středem/těžištěm v počátku a poloměrem kružnice opsané rovným \(\sqrt[n]{\left|-\dfrac{b}{a}\right|}\).
Dále si můžeme uvědomit, že velikost úhlu \(XOY\), kde \(O\) je počátek a body \(X\) a \(Y\) jsou sousední vrcholy \(n\)‑úhelníku, je roven \(\dfrac{2\pi}{n}\). Toto číslo je zároveň rozdíl argumentů komplexních čísel, jejichž obrazy v komplexní rovině jsou sousední vrcholy \(n\)‑úhelníku se středem/těžištěm v počátku.
Úlohy
-
Řešte binomické rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\):
-
\(x^3-125=0\)
\(x^3=125\)
\(x^3=125(\cos{0}+i\sin{0})\)
\(x_k=5\left(\cos{\dfrac{2k\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2k\pi}{3}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2\}\)
\(x_0=5\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)=5\)
\(x_1=5\left(\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{3}}\right)=5\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5\sqrt{3}}{2}i\)
\(x_2=5\left(\cos{\dfrac{4\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{4\pi}{3}}\right)=5\left(-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}i\)
\(\boldsymbol{K=\left\{5;-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5\sqrt{3}}{2}i;-\dfrac{5}{2}-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}i\right\}}\)
-
\(x^4+80=0\)
\(x^4=-80\)
\(x^4=80(\cos{\pi}+i\sin{\pi})\)
\(x_k=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{\pi+2k\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi+2k\pi}{4}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2,\,3\}\)
\(x_0=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{5}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt[4]{5}\sqrt{2}+\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i\)
\(x_1=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{3\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{5}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}+\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i\)
\(x_2=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{5}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i\)
\(x_3=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{7\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{7\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{5}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt[4]{5}\sqrt{2}-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i\)
\(
\begin{align*}
\boldsymbol{K=\Bigl\{}
&\boldsymbol{\sqrt[4]{5}\sqrt{2}+\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i;-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}+\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i;}\\
&\boldsymbol{-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i;\sqrt[4]{5}\sqrt{2}-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i\Bigr\}}
\end{align*}\)
-
\(4x^4-81=0\)
Binomickou rovnici upravíme na normovaný tvar a odečteme absolutní člen od obou stran rovnice.
\(x^4-\dfrac{81}{4}=0\)
\(x^4=\dfrac{81}{4}\)
\(x^4=\dfrac{81}{4}(\cos{0}+i\sin{0})\)
\(x_k=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\left(\cos{\dfrac{2k\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{2k\pi}{4}}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\dfrac{k\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{k\pi}{2}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2,\,3\}\)
\(x_0=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(x_1=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{\pi}{2}}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i\)
\(x_2=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{2}}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(x_3=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\dfrac{3\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{2}}\right)=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i\)
\(\boldsymbol{K=\left\{\dfrac{3\sqrt{2}}{2};\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i;-\dfrac{3\sqrt{2}}{2};-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i\right\}}\)
-
\(81x^3+64=0\)
Binomickou rovnici upravíme na normovaný tvar a odečteme absolutní člen od obou stran rovnice.
\(x^3+\dfrac{64}{81}=0\)
\(x^3=-\dfrac{64}{81}\)
\(x^3=\dfrac{64}{81}(\cos{\pi}+i\sin{\pi})\)
\(x_k=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\dfrac{\pi+2k\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\pi+2k\pi}{3}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2\}\)
\(x_0=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i\)
\(x_1=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\dfrac{3\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{3}}\right)=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)=-\dfrac{4}{3}\)
\(x_2=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{3}}\right)=\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i\)
\(\boldsymbol{K=\left\{\dfrac{2}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i;-\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i\right\}}\)
-
Řešte rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\):
-
\(x^4-16\sqrt{2}-16\sqrt{2}i=0\)
Jedná se o binomickou rovnici v normovaném tvaru \(x^4+c=0\), kde \(c=-16\sqrt{2}-16\sqrt{2}i\). Od obou stran rovnice odečteme komplexní číslo \(c\).
\(x^4=16\sqrt{2}+16\sqrt{2}i\)
Komplexní číslo na pravé straně rovnice převedeme do goniometrického tvaru:
\(x^4=32\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)\)
Kořeny rovnice jsou všechny čtvrté odmocniny z komplexního čísla \(32\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)\).
\(x_k=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{4}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2,\,3\}\)
\(x_0=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{4}}\right)=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{\pi}{16}}\right)\)
\(x_1=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{9\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{16}}\right)\)
\(x_2=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+4\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+4\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{17\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{17\pi}{16}}\right)\)
\(x_3=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+6\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+6\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{25\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{25\pi}{16}}\right)\)
\(
\begin{align*}
\boldsymbol{K=\Biggl\{}
&\boldsymbol{2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{\pi}{16}}\right);2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{9\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{16}}\right);}\\
&\boldsymbol{2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{17\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{17\pi}{16}}\right);2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{25\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{25\pi}{16}}\right)\Biggr\}}
\end{align*}\)
-
\(4x^3+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i=0\)
Binomickou rovnici upravíme na normovaný tvar a odečteme absolutní člen od obou stran rovnice.
\(x^3+\dfrac{1}{16}-\dfrac{\sqrt{3}}{16}i=0\)
\(x^3=-\dfrac{1}{16}+\dfrac{\sqrt{3}}{16}i\)
\(x^3=\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\)
\(x^3=\dfrac{1}{8}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{3}}\right)\)
Kořeny rovnice jsou všechny třetí odmocniny z komplexního čísla \(\dfrac{1}{8}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{3}}\right)\).
\(x_k=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi}{3}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2\}\)
\(x_0=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}}{3}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}}{3}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{9}}\right)\)
\(x_1=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+2\pi}{3}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{8\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{8\pi}{9}}\right)\)
\(x_2=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+4\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+4\pi}{3}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{14\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{14\pi}{9}}\right)\)
\(
\begin{align*}
\boldsymbol{K=\Biggl\{}
&\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{9}}\right);\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{8\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{8\pi}{9}}\right);}\\
&\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{14\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{14\pi}{9}}\right)\Biggr\}}
\end{align*}\)
-
Binomická rovnice 5. stupně má kořen \(7\left(\cos{\dfrac{3\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{5}}\right)\). Jaké další kořeny rovnice má?
Obrazy řešení binomické rovnice 5. stupně v komplexní rovině tvoří vrcholy pravidelného pětiúhelníku se středem v počátku. Rozdíl mezi argumenty dvou kořenů, jejichž obrazy jsou sousední vrcholy pětiúhelníku, je roven \(\dfrac{2\pi}{5}\).
Další kořeny binomické rovnice mají tvar:
\(7\left(\cos{\left(\dfrac{3\pi}{5}+\dfrac{2k\pi}{5}\right)}+i\sin{\left(\dfrac{3\pi}{5}+\dfrac{2k\pi}{5}\right)}\right)=7\left(\cos{\dfrac{3\pi+2k\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{3\pi+2k\pi}{5}}\right), \, k\in\{1,\,2,\,3,\,4\}\)
Dalšími kořeny binomické rovnice tedy jsou:
\(7\left(\cos{\dfrac{5\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{5}}\right)=7\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)\)
\(7\left(\cos{\dfrac{7\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{7\pi}{5}}\right)\)
\(7\left(\cos{\dfrac{9\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{5}}\right)\)
\(7\left(\cos{\dfrac{11\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{11\pi}{5}}\right)=7\left(\cos{\dfrac{\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{\pi}{5}}\right)\)
-
Binomická rovnice \(n\)‑tého stupně, kde \(n>1\), má kořeny
\(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{\pi}{8}}\right)\) a \(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{8}}\right)\).
Jaké další kořeny rovnice určitě má?
Obrazy řešení binomické rovnice v komplexní rovině tvoří vrcholy pravidelného \(n\)-úhelníku se středem v počátku. Rozdíl mezi argumenty dvou známých kořenů je roven \(\dfrac{5\pi}{8}-\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{4\pi}{8}\). Tento výsledek použijeme pro nalezení dalších kořenů.
Další kořeny binomické rovnice mají tvar:
\(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi+4k\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{5\pi+4k\pi}{8}}\right), \, k\in\{1,\,\dots\}\)
Dalšími kořeny binomické rovnice tedy jsou:
\(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{9\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{8}}\right)\)
\(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{13\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{13\pi}{8}}\right)\)
\(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{17\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{17\pi}{8}}\right)=\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{\pi}{8}}\right)\)
Poslední vypočítaný kořen rovnice nám byl znám již ze zadání. Známe tedy celkem 4 kořeny rovnice.
Jedná se o binomickou rovnici \(n\)-tého stupně, kde \(n\in\{4,\,8,\,12,\,\dots\}\).