\begin{align} \end{align}

Binomické rovnice

Nyní se podíváme na další typ rovnic, a sice binomické rovnice.

Definice

Binomická rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\) je rovnice tvaru \(ax^n+b=0\), kde \(a,b\in\mathbb{C}\), \(a\ne0\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n>1\).

Pojem binomická rovnice pochází z latinského slova binom, které znamená dvojčlen. Tímto dvojčlenem je míněn výraz na levé straně rovnice \(ax^n+b\).

Pokud binomickou rovnici vydělíme nenulovým číslem \(a\), upravíme ji tím na normovaný tvar \(x^n-c=0\), kde \(c=-\dfrac{b}{a}\). Kořenem rovnice je zjevně každé \(x\), pro které platí \(x^n=c\). To znamená, že \(x\) je \(n\)-tou odmocninou z čísla \(c=-\dfrac{b}{a}\).

Kořeny binomické rovnice \(ax^n+b=0\), kde \(a,b\in\mathbb{C}\), \(a\ne0\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n>1\), jsou všechny \(n\)-té odmocniny z komplexního čísla \(-\dfrac{b}{a}\).

Poznámka

V této kapitole budeme kořeny binomické rovnice označovat symboly \(x_0,x_1,\dots,x_{n-1}\).

Příklad

Najděte řešení rovnice \(27x^3+8=0\), \(x\in\mathbb{C}\).

Řešení

Jedná se o binomickou rovnici \(ax^n+b=0\), kde \(a=27\), \(b=8\).

Rovnici upravíme na normovaný tvar vydělením číslem \(a=27\) a následně odečteme absolutní člen od obou stran rovnice.

\(27x^3+8=0 \hspace{25pt} \Bigg|:27\)

\(x^3+\dfrac{8}{27}=0 \hspace{25pt} \Bigg|-\dfrac{8}{27}\)

\(x^3=-\dfrac{8}{27}\)

Kořenem rovnice jsou všechny třetí odmocniny z komplexního čísla \(-\dfrac{8}{27}\). Číslo \(-\dfrac{8}{27}\) proto převedeme do goniometrického tvaru.

\(-\dfrac{8}{27}=\dfrac{8}{27}(\cos{\pi}+i\sin{\pi})\)

Všechny třetí odmocniny z tohoto čísla jsou:

\(x_k=\dfrac{2}{3}\left(\cos{\dfrac{\pi+2k\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\pi+2k\pi}{3}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2\}\)

\(x_0=\dfrac{2}{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\)

\(x_1=\dfrac{2}{3}\left(\cos{\dfrac{3\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{3}}\right)=\dfrac{2}{3}\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)=-\dfrac{2}{3}\)

\(x_2=\dfrac{2}{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{3}}\right)=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\)

Množina všech kořenů rovnice je tedy

\(\boldsymbol{K=\left\{\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i;-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right\}}\).

Rovnici je také možné vyřešit rozkladem součtu třetích mocnin na součin využitím vzorce \(A^3+B^3=(A+B)\cdot(A^2-AB+B^2)\).

Upravíme tedy rovnici \(27x^3+8=0\) podle tohoto vzorce, kde \(A=3x\) a \(B=2\).

\((3x+2)(9x^2-6x+4)=0\)

Součin na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když je roven nule alespoň jeden z výrazů v závorce.

Z podmínky \(3x+2=0\) plyne kořen \(-\dfrac{2}{3}\).

Rovnice \(9x^2-6x+4=0\) je kvadratická rovnice s reálnými koeficienty a záporným \(D\), z této podmínky tedy plynou další dva kořeny, a sice komplexně sdružená čísla \(\dfrac{1}{3}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\).

Množina všech kořenů rovnice je tedy

\(\boldsymbol{K=\left\{-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i;\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right\}}\).

Poznámka

Binomické rovnice lze řešit pro libovolné \(n\in\mathbb{N}\), tedy do libovolného stupně.

Na následujícím appletu můžete měnit koeficienty \(a,b\) a exponent \(n\) a sledovat, jak ovlivňují řešení binomické rovnice \(ax^n+b=0\).

Můžeme si všimnout, že obrazy řešení této rovnice v komplexní rovině pro \(n>2\) jsou vrcholy pravidelného \(n\)‑úhelníku se středem/těžištěm v počátku a poloměrem kružnice opsané rovným \(\sqrt[n]{\left|-\dfrac{b}{a}\right|}\).

Dále si můžeme uvědomit, že velikost úhlu \(XOY\), kde \(O\) je počátek a body \(X\) a \(Y\) jsou sousední vrcholy \(n\)‑úhelníku, je roven \(\dfrac{2\pi}{n}\). Toto číslo je zároveň rozdíl argumentů komplexních čísel, jejichž obrazy v komplexní rovině jsou sousední vrcholy \(n\)‑úhelníku se středem/těžištěm v počátku.

Úlohy

  1. Řešte binomické rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\):

    • \(x^3-125=0\)

    • \(x^4+80=0\)

    • \(4x^4-81=0\)

    • \(81x^3+64=0\)

  2. Řešte rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\):

    • \(x^4-16\sqrt{2}-16\sqrt{2}i=0\)

    • \(4x^3+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i=0\)

  3. Binomická rovnice 5. stupně má kořen \(7\left(\cos{\dfrac{3\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{5}}\right)\). Jaké další kořeny rovnice má?

  4. Binomická rovnice \(n\)‑tého stupně, kde \(n>1\), má kořeny

    \(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{\pi}{8}}\right)\) a \(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{8}}\right)\).

    Jaké další kořeny rovnice určitě má?