Komplexní čísla

• Úvod
• Témata
• Kontakty

Binomické rovnice

Nyní se podíváme na další typ rovnic, a sice binomické rovnice.

Pojem binomická rovnice pochází z latinského slova binom, které znamená dvojčlen. Tímto dvojčlenem je míněn výraz na levé straně rovnice $ax^n+b$.

Pokud binomickou rovnici vydělíme nenulovým číslem $a$, upravíme ji tím na normovaný tvar $x^n-c=0$, kde $c=-\dfrac{b}{a}$. Kořenem rovnice je zjevně každé $x$, pro které platí $x^n=c$. To znamená, že $x$ je $n$-tou odmocninou z čísla $c=-\dfrac{b}{a}$.

Příklad

Na následujícím appletu můžete měnit koeficienty $a,b$ a exponent $n$ a sledovat, jak ovlivňují řešení binomické rovnice $ax^n+b=0$.

Můžeme si všimnout, že obrazy řešení této rovnice v komplexní rovině pro $n>2$ jsou vrcholy pravidelného $n$‑úhelníku se středem/těžištěm v počátku a poloměrem kružnice opsané rovným $\sqrt[n]{\left|-\dfrac{b}{a}\right|}$.

Dále si můžeme uvědomit, že velikost úhlu $XOY$, kde $O$ je počátek a body $X$ a $Y$ jsou sousední vrcholy $n$‑úhelníku, je roven $\dfrac{2\pi}{n}$. Toto číslo je zároveň rozdíl argumentů komplexních čísel, jejichž obrazy v komplexní rovině jsou sousední vrcholy $n$‑úhelníku se středem/těžištěm v počátku.

Úlohy

1. Řešte binomické rovnice s neznámou $x\in\mathbb{C}$:

   • $x^3-125=0$

     $x^3=125$

     $x^3=125(\cos{0}+i\sin{0})$

     $x_k=5\left(\cos{\dfrac{2k\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2k\pi}{3}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2\}$

     $x_0=5\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)=5$

     $x_1=5\left(\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{3}}\right)=5\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5\sqrt{3}}{2}i$

     $x_2=5\left(\cos{\dfrac{4\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{4\pi}{3}}\right)=5\left(-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}i$

     $\boldsymbol{K=\left\{5;-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5\sqrt{3}}{2}i;-\dfrac{5}{2}-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}i\right\}}$

   • $x^4+80=0$

     $x^4=-80$

     $x^4=80(\cos{\pi}+i\sin{\pi})$

     $x_k=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{\pi+2k\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi+2k\pi}{4}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2,\,3\}$

     $x_0=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{5}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt[4]{5}\sqrt{2}+\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i$

     $x_1=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{3\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{5}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}+\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i$

     $x_2=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{5}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i$

     $x_3=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{7\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{7\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{5}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt[4]{5}\sqrt{2}-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i$

     $\begin{align*} \boldsymbol{K=\Bigl\{} &\boldsymbol{\sqrt[4]{5}\sqrt{2}+\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i;-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}+\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i;}\\ &\boldsymbol{-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i;\sqrt[4]{5}\sqrt{2}-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i\Bigr\}} \end{align*}$

   • $4x^4-81=0$

     Binomickou rovnici upravíme na normovaný tvar a odečteme absolutní člen od obou stran rovnice.

     $x^4-\dfrac{81}{4}=0$

     $x^4=\dfrac{81}{4}$

     $x^4=\dfrac{81}{4}(\cos{0}+i\sin{0})$

     $x_k=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\left(\cos{\dfrac{2k\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{2k\pi}{4}}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\dfrac{k\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{k\pi}{2}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2,\,3\}$

     $x_0=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

     $x_1=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{\pi}{2}}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i$

     $x_2=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{2}}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

     $x_3=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\dfrac{3\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{2}}\right)=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i$

     $\boldsymbol{K=\left\{\dfrac{3\sqrt{2}}{2};\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i;-\dfrac{3\sqrt{2}}{2};-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i\right\}}$

   • $81x^3+64=0$

     Binomickou rovnici upravíme na normovaný tvar a odečteme absolutní člen od obou stran rovnice.

     $x^3+\dfrac{64}{81}=0$

     $x^3=-\dfrac{64}{81}$

     $x^3=\dfrac{64}{81}(\cos{\pi}+i\sin{\pi})$

     $x_k=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\dfrac{\pi+2k\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\pi+2k\pi}{3}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2\}$

     $x_0=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i$

     $x_1=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\dfrac{3\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{3}}\right)=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)=-\dfrac{4}{3}$

     $x_2=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{3}}\right)=\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i$

     $\boldsymbol{K=\left\{\dfrac{2}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i;-\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i\right\}}$

2. Řešte rovnice s neznámou $x\in\mathbb{C}$:

   • $x^4-16\sqrt{2}-16\sqrt{2}i=0$

     Jedná se o binomickou rovnici v normovaném tvaru $x^4+c=0$, kde $c=-16\sqrt{2}-16\sqrt{2}i$. Od obou stran rovnice odečteme komplexní číslo $c$.

     $x^4=16\sqrt{2}+16\sqrt{2}i$

     Komplexní číslo na pravé straně rovnice převedeme do goniometrického tvaru:

     $x^4=32\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)$

     Kořeny rovnice jsou všechny čtvrté odmocniny z komplexního čísla $32\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)$.

     $x_k=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{4}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2,\,3\}$

     $x_0=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{4}}\right)=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{\pi}{16}}\right)$

     $x_1=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{9\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{16}}\right)$

     $x_2=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+4\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+4\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{17\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{17\pi}{16}}\right)$

     $x_3=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+6\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+6\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{25\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{25\pi}{16}}\right)$

     $\begin{align*} \boldsymbol{K=\Biggl\{} &\boldsymbol{2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{\pi}{16}}\right);2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{9\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{16}}\right);}\\ &\boldsymbol{2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{17\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{17\pi}{16}}\right);2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{25\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{25\pi}{16}}\right)\Biggr\}} \end{align*}$

   • $4x^3+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i=0$

     Binomickou rovnici upravíme na normovaný tvar a odečteme absolutní člen od obou stran rovnice.

     $x^3+\dfrac{1}{16}-\dfrac{\sqrt{3}}{16}i=0$

     $x^3=-\dfrac{1}{16}+\dfrac{\sqrt{3}}{16}i$

     $x^3=\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

     $x^3=\dfrac{1}{8}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{3}}\right)$

     Kořeny rovnice jsou všechny třetí odmocniny z komplexního čísla $\dfrac{1}{8}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{3}}\right)$.

     $x_k=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi}{3}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2\}$

     $x_0=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}}{3}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}}{3}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{9}}\right)$

     $x_1=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+2\pi}{3}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{8\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{8\pi}{9}}\right)$

     $x_2=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+4\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+4\pi}{3}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{14\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{14\pi}{9}}\right)$

     $\begin{align*} \boldsymbol{K=\Biggl\{} &\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{9}}\right);\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{8\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{8\pi}{9}}\right);}\\ &\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{14\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{14\pi}{9}}\right)\Biggr\}} \end{align*}$

3. Binomická rovnice 5. stupně má kořen $7\left(\cos{\dfrac{3\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{5}}\right)$. Jaké další kořeny rovnice má?

   Obrazy řešení binomické rovnice 5. stupně v komplexní rovině tvoří vrcholy pravidelného pětiúhelníku se středem v počátku. Rozdíl mezi argumenty dvou kořenů, jejichž obrazy jsou sousední vrcholy pětiúhelníku, je roven $\dfrac{2\pi}{5}$.

   Další kořeny binomické rovnice mají tvar:

   $7\left(\cos{\left(\dfrac{3\pi}{5}+\dfrac{2k\pi}{5}\right)}+i\sin{\left(\dfrac{3\pi}{5}+\dfrac{2k\pi}{5}\right)}\right)=7\left(\cos{\dfrac{3\pi+2k\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{3\pi+2k\pi}{5}}\right), \, k\in\{1,\,2,\,3,\,4\}$

   Dalšími kořeny binomické rovnice tedy jsou:

   $7\left(\cos{\dfrac{5\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{5}}\right)=7\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)$

   $7\left(\cos{\dfrac{7\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{7\pi}{5}}\right)$

   $7\left(\cos{\dfrac{9\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{5}}\right)$

   $7\left(\cos{\dfrac{11\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{11\pi}{5}}\right)=7\left(\cos{\dfrac{\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{\pi}{5}}\right)$

4. Binomická rovnice $n$‑tého stupně, kde $n>1$, má kořeny

   $\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{\pi}{8}}\right)$ a $\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{8}}\right)$.

   Jaké další kořeny rovnice určitě má?

   Obrazy řešení binomické rovnice v komplexní rovině tvoří vrcholy pravidelného $n$-úhelníku se středem v počátku. Rozdíl mezi argumenty dvou známých kořenů je roven $\dfrac{5\pi}{8}-\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{4\pi}{8}$. Tento výsledek použijeme pro nalezení dalších kořenů.

   Další kořeny binomické rovnice mají tvar:

   $\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi+4k\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{5\pi+4k\pi}{8}}\right), \, k\in\{1,\,\dots\}$

   Dalšími kořeny binomické rovnice tedy jsou:

   $\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{9\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{8}}\right)$

   $\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{13\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{13\pi}{8}}\right)$

   $\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{17\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{17\pi}{8}}\right)=\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{\pi}{8}}\right)$

   Poslední vypočítaný kořen rovnice nám byl znám již ze zadání. Známe tedy celkem 4 kořeny rovnice.

   Jedná se o binomickou rovnici $n$-tého stupně, kde $n\in\{4,\,8,\,12,\,\dots\}$.

• Titulní strana

• Úvod

• Zavedení komplexních čísel

  • Motivace
  • Zavedení
  • Komplexní rovina
  • Absolutní hodnota
  • Komplexně sdružená a opačná čísla
  • Operace

• Algebraický tvar

  • Algebraický tvar
  • Operace
  • Odmocnina

• Množiny bodů v komplexní rovině

• Goniometrický tvar

  • Goniometrický tvar
  • Operace
  • Odmocnina

• Exponenciální tvar

  • Exponenciální tvar
  • Operace
  • Odmocnina

• Rovnice

  • Úvod
  • Lineární rovnice
  • Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty
  • Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty
  • Binomické rovnice
  • Trinomické rovnice
  • Reciproké rovnice
  • Kubické rovnice s reálnými koeficienty

• Souhrnný test (základy)

• Souhrnný test (rovnice)

• Literatura

• Rejstřík