\begin{align} \end{align}

Trinomické rovnice

Dalším typem rovnic, které budeme v množině všech komplexních čísel řešit, jsou rovnice trinomické.

Definice

Trinomická rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\) je rovnice tvaru \(ax^{2n}+bx^n+c=0\), kde \(a,b,c\in\mathbb{C}\), \(a,b\ne0\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n>1\).

Pojem trinomická rovnice pochází z latinského slova trinom, které znamená trojčlen. Tímto trojčlenem je míněn výraz na levé straně rovnice \(ax^{2n}+bx^n+c\).

Pro speciální případ trinomické rovnice, kde \(n=2\), použiváme název bikvadratická.

Definice

Bikvadratická rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\) je trinomická rovnice s \(n=2\), má tedy tvar \(ax^4+bx^2+c=0\), kde \(a,b,c\in\mathbb{C}\), \(a,b\ne0\).

Poznámka

V této kapitole budeme dolními indexy číslovat kořeny rovnice a pomocné substituce (nikoliv reálnou a imaginární část komplexního čísla).

Nejdříve se podíváme na řešení trinomické rovnice, ve které je \(c=0\). Pak má rovnice tvar \(ax^{2n}+bx^n=0\). Výraz na levé straně můžeme rozložit na součin \(x^n\cdot(ax^n+b)\). V tomto případě má rovnice \(n\)-násobný kořen \(x=0\) a dalších \(n\) kořenů vyplývajících z řešení binomické rovnice \(ax^n+b=0\).

Příklad

Najděte řešení trinomické rovnice \(2x^6+6x^3=0\), kde \(x\in\mathbb{C}\).

Řešení

Jedná se o trinomickou rovnici \(ax^{2n}+bx^n+c=0\), pro kterou platí: \(a=2\), \(b=6\), \(c=0\), \(n=3\).

\(2x^6+6x^3=0\)

Výraz na levé straně rozložíme na součin.

\(x^3(2x^3+6)=0\)

Součin na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když platí:

\(x^3=0 \,\lor\, 2x^3+6=0\)

\(x^3=0 \,\lor\, x^3=-3\)

Z podmínky \(x^3=0\) plyne trojnásobný kořen:

\(x_1=x_2=x_3=0\)

Z podmínky \(x^3=-3\) určíme další kořeny. Nejdříve vyjádříme číslo \(-3\) v goniometrickém tvaru.

\(x^3=3(\cos\pi + i \sin\pi)\)

Odtud plyne, že řešením jsou třetí odmocniny z komplexního čísla \(3(\cos\pi + i \sin\pi)\).

\(x_4=\sqrt[3]{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{3}} + i \sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=\sqrt[3]{3}\left(\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt[3]{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\sqrt[3]{3}}{2}i\)

\(x_5=\sqrt[3]{3}\left(\cos{\dfrac{3\pi}{3}} + i \sin{\dfrac{3\pi}{3}}\right)=\sqrt[3]{3}(\cos{\pi} + i \sin{\pi})=-\sqrt[3]{3}\)

\(x_6=\sqrt[3]{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{3}} + i \sin{\dfrac{5\pi}{3}}\right)=\sqrt[3]{3}\left(\dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt[3]{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\sqrt[3]{3}}{2}i\)

Množina všech kořenů rovnice je tedy

\(\boldsymbol{K=\left\{0;\dfrac{\sqrt[3]{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}\sqrt[3]{3}}{2}i;-\sqrt[3]{3};\dfrac{\sqrt[3]{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\sqrt[3]{3}}{2}i\right\}}\).

Nyní se podíváme na případ trinomické rovnice, kdy \(c\ne 0\). Můžeme si všimnout, že trinomické rovnice nápadně připomínají rovnice kvadratické. Použijeme-li substituci \(y=x^n\), dojdeme ke kvadratické rovnici \(ay^2+by+c=0\). Tato rovnice má v \(\mathbb{C}\) dva kořeny (či jeden dvojnásobný kořen) \(y_1\) a \(y_2\). Kořeny binomických rovnic \(y_1=x^n\) a \(y_2=x^n\) s neznámou \(x\) jsou zároveň kořeny původní trinomické rovnice.

Příklad

Najděte řešení trinomické rovnice \(x^8-2x^4+2=0\), kde \(x\in\mathbb{C}\).

Řešení

Jedná se o trinomickou rovnici \(ax^{2n}+bx^n+c=0\), pro kterou platí: \(a=1\), \(b=-2\), \(c=2\), \(n=4\).

Použijeme substituci \(y=x^4\).

\(y^2-2y+2=0\)

Najdeme řešení kvadratické rovnice s neznámou \(y\).

Určíme její diskriminant.

\(D=4-4\cdot2=-4\)

Rovnice získaná po substituci má záporný diskriminant, její řešení je:

\(y_{1,2}=\dfrac{2\pm i\sqrt{4}}{2}=1\pm i\)

Nyní vyřešíme binomické rovnice \(y_1=x^4\) a \(y_2=x^4\), proto \(y_1\) a \(y_2\) převedeme na goniometrický tvar.

\(y_1=1+i=\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)\)

\(y_2=1-i=\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{7\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{7\pi}{4}}\right)\)

Nejdříve vyřešíme rovnici \(y_1=x^4\).

Z rovnice \(x^4=\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)\) plynou řešení

\(\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{4}}\right), k\in\{0,1,2,3\}\).

\(x_1=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{4}}\right)=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{\pi}{16}}\right)\)

\(x_2=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2\pi}{4}}\right)=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{9\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{16}}\right)\)

\(x_3=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+4\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+4\pi}{4}}\right)=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{17\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{17\pi}{16}}\right)\)

\(x_4=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+6\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+6\pi}{4}}\right)=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{25\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{25\pi}{16}}\right)\)

Dále vyřešíme rovnici \(y_2=x^4\).

Z rovnice \(x^4=\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{7\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{7\pi}{4}}\right)\) plynou řešení

\(\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi}{4}}\right), k\in\{0,1,2,3\}\).

\(x_5=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{7\pi}{4}}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{7\pi}{4}}{4}}\right)=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{7\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{7\pi}{16}}\right)\)

\(x_6=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{7\pi}{4}+2\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{7\pi}{4}+2\pi}{4}}\right)=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{15\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{15\pi}{16}}\right)\)

\(x_7=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{7\pi}{4}+4\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{7\pi}{4}+4\pi}{4}}\right)=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{23\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{23\pi}{16}}\right)\)

\(x_8=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{7\pi}{4}+6\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{7\pi}{4}+6\pi}{4}}\right)=\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{31\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{31\pi}{16}}\right)\)

Rovnice má celkem 8 řešení, množina všech kořenů rovnice je

\( \begin{align*} \boldsymbol{K=\Biggl\{} &\boldsymbol{\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{\pi}{16}}\right);\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{9\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{16}}\right);}\\ &\boldsymbol{\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{17\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{17\pi}{16}}\right);\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{25\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{25\pi}{16}}\right);}\\ &\boldsymbol{\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{7\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{7\pi}{16}}\right);\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{15\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{15\pi}{16}}\right);}\\ &\boldsymbol{\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{23\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{23\pi}{16}}\right);\sqrt[8]{2}\left(\cos{\dfrac{31\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{31\pi}{16}}\right)\Biggr\}} \end{align*}\).

Poznámka

Trinomické rovnice lze řešit pro libovolné \(n\in\mathbb{N}\), \(n>1\), tedy do libovolného stupně.

Příklad

Najděte řešení trinomické rovnice \(x^4+\left(3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\right)x^2+(-8-8i)=0\), kde \(x\in\mathbb{C}\).

Řešení

Jedná se o trinomickou rovnici \(ax^{2n}+bx^n+c=0\), pro kterou platí: \(a=1\), \(b=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\), \(c=-8-8i\), \(n=2\).

Použijeme substituci \(y=x^2\).

\(y^2+\left(3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\right)y+(-8-8i)=0\)

Potřebujeme najít řešení kvadratické rovnice s neznámou \(y\). Jde o kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty.

Rovnici vynásobíme číslem \(4a=4\) a upravíme.

\(4y^2+4\left(3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\right)y+(-32-32i)=0\)

\((2y)^2+2\cdot2y\cdot\left(3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\right)+(-32-32i)=0\)

\((2y)^2+2\cdot2y\cdot\left(3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\right)+\left(3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\right)^2-\left(3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\right)^2+(-32-32i)=0\)

\(\left(2y+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\right)^2-\left(3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\right)^2+(-32-32i)=0\)

\(\left(2y+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\right)^2=18+80i\)

Použijeme substituci \(z=2y+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\) a získáme následující binomickou rovnici druhého stupně, jejíž řešení \(z_1\) a \(z_2\) určíme jako druhé odmocniny z komplexního čísla \(18+80i\).

\(z^2=18+80i\)

\(z_1=5\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\)

\(z_2=-5\sqrt{2}-4\sqrt{2}i\)

Ze substituce \(z=2y+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\) vyjádříme neznámou \(y\).

\(y=\dfrac{z-3\sqrt{2}-4\sqrt{2}i}{2}\)

Za \(z\) nejdříve dosadíme \(z_1=5\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\) a získáme \(y_1\), poté za \(z\) dosadíme \(z_2=-5\sqrt{2}-4\sqrt{2}i\) a získáme \(y_2\).

\(y_1=\dfrac{5\sqrt{2}+4\sqrt{2}i-3\sqrt{2}-4\sqrt{2}i}{2}=\sqrt{2}\)

\(y_2=\dfrac{-5\sqrt{2}-4\sqrt{2}i-3\sqrt{2}-4\sqrt{2}i}{2}=-4\sqrt{2}-4\sqrt{2}i=8\left(\cos{\dfrac{5\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{4}}\right)\)

Vrátíme se k substituci \(y=x^2\), kam za \(y\) postupně dosadíme \(y_1=\sqrt{2}\) a \(y_2=8\left(\cos{\dfrac{5\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{4}}\right)\), čímž získáme dvě binomické rovnice s neznámou \(x\). Kořeny těchto binomických rovnic jsou zároveň kořeny původní trinomické rovnice.

Z rovnice \(y_1=x^2\), a tedy \(x^2=\sqrt{2}\), plynou řešení:

\(x_1=\sqrt[4]{2}\)

\(x_2=-\sqrt[4]{2}\)

Z rovnice \(y_2=x^2\), a tedy \(x^2=8\left(\cos{\dfrac{5\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{4}}\right)\), plynou řešení:

\(2\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi}{2}}\right), k\in\{0,1\}\)

\(x_3=2\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{8}}\right)\)

\(x_4=2\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{13\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{13\pi}{8}}\right)\)

Rovnice má celkem 4 řešení, množina všech kořenů rovnice je

\(\boldsymbol{K=\left\{\sqrt[4]{2};-\sqrt[4]{2};2\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{8}}\right);2\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{13\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{13\pi}{8}}\right)\right\}}\).

Úlohy

  1. Řešte trinomické rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\):

    • \(16x^8-x^4=0\)

    • \(x^4+\left(\sqrt{3}+i\right)x^2=0\)

    • \((\sqrt{2}+i)x^6+(-2+2\sqrt{2}i)x^3=0\)

  2. Řešte trinomické rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\):

    • \(x^6+x^3-12=0\)

    • \(x^8-4x^4+16=0\)

    • \(x^6+\left(-4\sqrt{3}+5i\right)x^3+\left(-4-4\sqrt{3}i\right)=0\)

  3. Trinomická rovnice 6. stupně má kořeny \(2\left(\cos{\dfrac{7\pi}{12}}+i\sin{\dfrac{7\pi}{12}}\right)\) a \(5\left(\cos{\dfrac{\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{\pi}{2}}\right)\). Jaké další kořeny rovnice má?