\begin{align}
\end{align}
Lineární rovnice
Lineární rovnice můžeme v množině všech komplexních čísel \(\mathbb{C}\) řešit stejným způsobem jako v \(\mathbb{R}\), využíváme při tom znalosti početních operací v množině všech komplexních čísel, abychom osamostatnili neznámou na jedné straně rovnice. Používáme přitom úpravy, které nemění množinu kořenů rovnice.
Mějme lineární rovnici \(ax+b=0, \; a,b\in\mathbb{C}, \; a\ne 0\). Pak úpravami dojdeme k řešení rovnice \(x=-\dfrac{b}{a}\).
Lineární rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\) má právě jedno řešení.
Příklad
Najděte řešení rovnice \(\dfrac{5}{1+2i}x+1+3i=\dfrac{5}{2+i}x\), kde \(x\in\mathbb{C}\).
Řešení
Obě strany rovnice vynásobíme společným jmenovatelem výrazů v rovnici.
\(\dfrac{5}{1+2i}x+1+3i=\dfrac{5}{2+i}x \hspace{25pt} \Bigg|\cdot(1+2i)(2+i)\)
\(5(2+i)x+(1+3i)(1+2i)(2+i)=5(1+2i)x\)
\((10+5i)x+(-15+5i)=(5+10i)x\)
Rovnici upravíme pomocí ekvivalentních úprav tak, abychom na levé straně získali výrazy s neznámou \(x\).
\((10+5i)x+(-15+5i)=(5+10i)x \hspace{25pt} \Bigg|-(5+10i)x-(-15+5i)\)
\((10+5i)x-(5+10i)x=-(-15+5i)\)
\((5-5i)x=-(-15+5i)\)
Rovnici dělíme nenulovým číslem \(5-5i\).
\(x=\dfrac{-(-15+5i)}{5-5i}\)
\(x=2+i\)
Řešením rovnice je číslo \(2+i\), tedy množina všech kořenů rovnice je \(\boldsymbol{K=\{2+i\}}\).
Pokud se v rovnici vyskytují komplexně sdružené neznámé \(x\) a \(\bar{x}\), využijeme jejich vyjádření v algebraickém tvaru: \(x=x_1+x_2i, \; \bar{x}=x_1-x_2i, \; x_1,x_2\in\mathbb{R}\). V tomto případě se nejedná o algebraickou rovnici s jednou neznámou.
Příklad
Najděte řešení rovnice \(3\bar{x}-(8-6i)=-5x\), kde \(x\in\mathbb{C}\).
Řešení
Použijeme vyjádření neznámých \(x\) a \(\bar{x}\) v algebraickém tvaru.
\(x=x_1+x_2i\)
\(\bar{x}=x_1-x_2i\)
\(x_1,x_2\in\mathbb{R}\)
Do rovnice za \(x\) dosadíme \(x_1+x_2i\), za \(\bar{x}\) dosadíme \(x_1-x_2i\) a rovnici zjednodušíme.
\(3(x_1-x_2i)-(8-6i)=-5(x_1+x_2i) \hspace{25pt} \Bigg|+5(x_1+x_2i)+(8-6i)\)
\(3(x_1-x_2i)+5(x_1+x_2i)=8-6i\)
\(3x_1-3x_2i+5x_1+5x_2i=8-6i\)
\(8x_1+2x_2i=8-6i\)
Využijeme toho, že komplexní čísla v algebraickém tvaru jsou si rovna právě tehdy, když jsou si rovny jejich reálné i imaginární části.
\(8x_1=8, \; 2x_2=-6\)
\(x_1=1, \; x_2=-3\)
\(x=1-3i\)
Řešením rovnice je číslo \(1-3i\), tedy množina všech kořenů rovnice je \(\boldsymbol{K=\{1-3i\}}\).
Úlohy
-
Řešte rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\):
-
\(\dfrac{1+7i}{5(2-i)}x+i(1-3i)=2ix\)
\(\dfrac{1+7i}{5(2-i)}x+i(1-3i)=2ix \hspace{25pt} \Bigg|\cdot 5(2-i)\)
\((1+7i)x+i(1-3i)\cdot5(2-i)=2ix\cdot5(2-i)\)
\((1+7i)x+(35-5i)=(10+20i)x \hspace{25pt} \Bigg|-(10+20i)x-(35-5i)\)
\((1+7i)x-(10+20i)x=-35+5i\)
\((-9-13i)x=-35+5i \hspace{25pt} \Bigg|:(-9-13i)\)
\(x=\dfrac{-35+5i}{-9-13i}\)
\(x=1-2i\)
\(\boldsymbol{K=\{1-2i\}}\)
-
\(-1-4i+\dfrac{2}{i}x=-\dfrac{4+4i}{1-i}x-3+4i\)
\(-1-4i+\dfrac{2}{i}x=-\dfrac{4+4i}{1-i}x-3+4i \hspace{25pt} \Bigg|\cdot i(1-i)\)
\((-1-4i)i(1-i)+2(1-i)x=-(4+4i)ix+(-3+4i)i(1-i)\)
\((3-5i)+(2-2i)x=-(-4+4i)x+(-7+i) \hspace{25pt} \Bigg|+(-4+4i)x-(3-5i)\)
\((-4+4i)x+(2-2i)x=(-7+i)-(3-5i)\)
\((-2+2i)x=(-10+6i) \hspace{25pt} \Bigg|:(-2+2i)\)
\(x=\dfrac{(-10+6i)}{(-2+2i)}\)
\(x=4+i\)
\(\boldsymbol{K=\{4+i\}}\)
-
\(\left(\dfrac{1+3i}{-1+2i}\right)^2+\dfrac{6}{x}=\dfrac{1}{i^3}\)
Protože se neznámá nechází ve jmenovateli, musíme nejdříve určit podmínky, za kterých má rovnice smysl.
\(x\ne0\)
Zjednodušíme první výraz na levé straně:
\(\left(\dfrac{1+3i}{-1+2i}\right)^2=-2i\)
Zjednodušený výraz dosadíme do rovnice a vyjádříme neznámou \(x\).
\(-2i+\dfrac{6}{x}=\dfrac{1}{i^3} \hspace{25pt} \Bigg|\cdot i^3x\)
\(-2i^4x+6i^3=x\)
\(-2x-6i=x\)
\(-6i=3x\)
\(x=-2i\)
\(\boldsymbol{K=\{-2i\}}\)
-
\(\left(-\sqrt{3}+i\right)^3+\left(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\right)^2=(2+i)(2-i)ix+\dfrac{1}{i}\)
Nejdříve zjednodušíme výrazy na obou stranách rovnice:
\(\left(-\sqrt{3}+i\right)^3=8i\)
\(\left(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\right)^2=-4i\)
\((2+i)(2-i)ix=5ix\)
\(\dfrac{1}{i}=-i\)
Zjednodušené výrazy dosadíme do rovnice a vyjádříme neznámou \(x\).
\(8i-4i=5ix-i\)
\(5i=5ix\)
\(x=1\)
\(\boldsymbol{K=\{1\}}\)
-
Řešte rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\):
-
\((5-i)\bar{x}=2x+2-8i\)
Do rovnice dosadíme vyjádření neznámých \(x\) a \(\bar{x}\) v algebraickém tvaru a následně rovnici upravíme.
\(x=x_1+x_2i, \, \bar{x}=x_1-x_2i\).
\((5-i)(x_1-x_2i)=2(x_1+x_2i)+2-8i \hspace{25pt} \Bigg|-2(x_1+x_2i)\)
\((5-i)(x_1-x_2i)-2(x_1+x_2i)=2-8i\)
\((5x_1-x_2-2x_1)+(-x_1-5x_2-2x_2)i=2-8i\)
\((3x_1-x_2)+(-x_1-7x_2)i=2-8i\)
Z rovnosti komplexních čísel v algebraickém tvaru vyplývá:
\(3x_1-x_2=2, \; -x_1-7x_2=-8i\)
Tato soustava rovnic má řešení:
\(x_1=1, \; x_2=1\)
Řešením původní rovnice je tedy \(x=1+i\).
\(\boldsymbol{K=\{1+i\}}\)
-
\(-11+4i+x(\bar{x}-i)=10+i\)
\(-11+4i+x\cdot\bar{x}-x\cdot i=10+i\)
Do rovnice dosadíme vyjádření neznámých \(x\) a \(\bar{x}\) v algebraickém tvaru a dále využijeme toho, že platí \(x\cdot\bar{x}={x_1}^2+{x_2}^2\). Následně rovnici upravíme.
\(-11+4i+{x_1}^2+{x_2}^2-x_1i+x_2=10+i \hspace{25pt} \Bigg|+11-4i\)
\({x_1}^2+{x_2}^2-x_1i+x_2=21-3i\)
Z rovnosti komplexních čísel v algebraickém tvaru vyplývá:
\({x_1}^2+{x_2}^2+x_2=21, \; -x_1=-3\)
Hodnota \(x_1\) je zřejmá, dále musíme vypočítat \(x_2\).
\(x_1=3\)
\(9+{x_2}^2+x_2=21\)
\({x_2}^2+x_2-12=0\)
\((x_2+4)(x_2-3)=0\)
Číslo \(x_2\) může nabývat hodnot \(-4\) a \(3\).
Původní rovnice má tedy dva kořeny.
\(\boldsymbol{K=\{3-4i;3+3i\}}\)
